對一道三角形問題的多解探究

☉江蘇省張家港市崇真中學(xué) 陳 斌

在近年的各種類型的考試中，經(jīng)常會碰到涉及三角形面積及其相關(guān)問題的最值或取值范圍問題.此類問題往往前景活潑多樣，而且解答難度較大，解決問題的思維方式多變，解決方法有時也多種多樣.因此一直備受命題者的青睞.

一、問題呈現(xiàn)

例題在面積為2的△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，則a2+2b2+c2的最小值為______.

本題通過三角形面積的給出，進(jìn)而求解三角形的三邊相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式的最值.解決問題時可以從“數(shù)”的角度入手，也可以從“形”的角度入手，以及數(shù)與形的有機結(jié)合.題目非常簡單，入手反而比較難，中間涉及的知識點也不少，是一個融合多個知識點、多種思想方法的創(chuàng)新題，可以非常有效地考查知識點的掌握，而且還有助于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、多解思維

思維角度1：利用三角形的面積公式表示出ac，結(jié)合余弦定理將a2+2b2+c2轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角關(guān)系式，利用關(guān)系式 的幾何意義，借助直線與圓的位置關(guān)系，通過平面解析幾何方法加以數(shù)形結(jié)合，利用直線與圓的相切并結(jié)合點到直線的距離公式來確定其最值情況，進(jìn)而得以求解代數(shù)式的最小值.

解法1：由△ABC的面積S=acsinB=2，可得，結(jié)合余弦定理可得a2+2b2+c2=3（a2+c2）-4accosB≥6ac-4accosB=2ac·表示單位圓x2+y2=1（x＞0）上的點P（sinB，cosB）與定點A（ 0）的連線的斜率.

結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線PA與單位圓x2+y2=1（x＞0）相切時，直線PA的斜率取得最大值，此時設(shè)直線PA的方程為＜0），即2kx-2y+3=0，則有解得

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

思維角度2：通過建立平面直角坐標(biāo)系，確定A、C點的坐標(biāo)并設(shè)出點B的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式確定點B的縱坐標(biāo)，并利用兩點間的距離公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化得到a2+2b2+c2的關(guān)系式，通過轉(zhuǎn)化并結(jié)合不等式的性質(zhì)加以放縮變形，然后利用基本不等式來確定相應(yīng)代數(shù)式的最小值即可.

圖2

解法2：以AC所在直線為x軸，AC的中點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則），設(shè)B（x，y）（不失一般性，假定y＞0）.

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案

思維角度3：利用三角形的面積公式表示出ac，結(jié)合余弦定理將a2+2b2+c2轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角關(guān)系式，利用關(guān)系式來設(shè)置對應(yīng)的參數(shù)k，結(jié)合分式的轉(zhuǎn)化并利用三角函數(shù)的輔助角公式來確定其最大值，進(jìn)而求解參數(shù)k所滿足的不等關(guān)系式，代入原不等式中并綜合不等式的性質(zhì)來確定所求代數(shù)式的最小值即可.

解法3：由△ABC的面積acsinB=2，可得ac=

結(jié)合余弦定理可得a2+2b2+c2=3（a2+c2）-4accosB≥6ac-4accosB=2ac（3-2cosB）

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

思維角度4：結(jié)合平面幾何作圖，過點B作BD⊥AC，利用三角形的面積公式得到，并設(shè)AD=x，CD=y，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化相應(yīng)的代數(shù)式，并結(jié)合基本不等式的應(yīng)用來確定相應(yīng)的最值，進(jìn)而得到所求代數(shù)式的最小值.利用平面幾何法來處理，關(guān)鍵是對相關(guān)線段的設(shè)置及轉(zhuǎn)化，在這里勾股定理與基本不等式起到非常重要的作用.

解法4：如圖3，過點B作BD⊥AC，垂足為D.

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案

思維角度5：利用三角形的面積公式表示出acsinB=4，結(jié)合余弦定理將a2+2b2+c2轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角關(guān)系式，先通過基本不等式得到6ac-4accosB，再利用系數(shù)的轉(zhuǎn)化與配對并結(jié)合柯西不等式來轉(zhuǎn)化，通過acsinB=4的代入來確定所求代數(shù)式的最小值.利用柯西不等式法處理比較簡單，但需具備較強的轉(zhuǎn)化意識，特別是相關(guān)常數(shù)的轉(zhuǎn)化及配湊，具有較高的目的性與熟練的運算技巧，特別是能巧妙地利用系數(shù)之間的關(guān)系加以處理與應(yīng)用.

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

思維角度6：直接利用三角形結(jié)論：已知△ABC的三邊分別為a，b，c，面積為S，且x，y，z為正實數(shù)，則有xa2+可以非常有效并快捷地解決此類三角形三邊的線性平方和關(guān)系式與相應(yīng)的面積之間的不等關(guān)系式問題，進(jìn)而有效地求解相應(yīng)的最值問題.利用三角形的結(jié)論法來進(jìn)行處理與轉(zhuǎn)化，可以簡單快捷地得到相應(yīng)的結(jié)論，但必須增加相關(guān)的知識拓展與掌握能力.

解法6：利用三角形的結(jié)論：已知△ABC的三邊分別為a，b，c，面積為S，且x，y，z為正實數(shù)，則有xa2+yb2+zc2≥

由題知S=2，取x=1，y=2，z=1.

利用以上結(jié)論可得a2+2b2+c2≥

所以a2+2b2+c2的最小值為.故填答案：

總結(jié)：通過以上不同的方法，充分利用平面解析幾何、平面直角坐標(biāo)系、三角函數(shù)、平面幾何等來進(jìn)行有效的處理，也可以利用一般性的三角形的結(jié)論來處理，從而給解決問題帶來了無限的方便與亮點.解決此類問題總的指導(dǎo)思想是可以從“數(shù)”的角度入手，利用三邊代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用基本不等式以及解三角形中的相關(guān)公式來處理與應(yīng)用；還可以從“形”的角度入手，以解三角形為基本切入點來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合平面幾何的性質(zhì)、平面解析幾何等數(shù)形結(jié)合思想來處理與應(yīng)用.F