用“數學期望”來決策

☉江蘇省啟東中學 龔凱宏

離散型隨機變量的數學期望是概率的自然延伸，離散型隨機變量的“決策”類應用題，以其貼近實際生活的題目為背景，成為近年來高考的熱點，這類試題的綜合性強，應用性廣，情景新穎，有力地考查了學生在新情境下分析問題和解決問題的能力.本文擷取幾例，談談如何解決這類問題.

一、隨機變量的數學期望與固定值比較

例1（江蘇省啟東中學2017高三模擬題）呂四漁港某漁船對下周是否出海作出決策，若出海后是好天氣，可通過正常捕魚獲得收益8000元，若出海后天氣不好，將因徒勞往返而損失2000元，若不出海不論天氣好壞都要承擔500元的損失費，據預測下周是好天氣的概率為0.4，壞天氣的概率為0.6，問該漁船應如何作出決策（即選擇是否出海）？

分析：是否出海的決策，其主要依據是經濟效益的高低，由題意知：不出海的收益是-500元，是確定的；而出海的收益取決于天氣的好壞，只要求得出海的收益的數學期望（即均值）并作出比較，便能作出決策.

解：設X是出海的收益數，由題意可得概率分布為

可求得出海的收益的數學期望值為：

E（X）=8000×0.4＋（-2000）×0.6=2000（元）；

因為E（X）=2000元顯然高于不出海的收益-500元，

故該漁船下周應選擇出海.

評注：本題是一道基礎題，主要考查學生對離散型隨機變量的數學期望的實際應用能力，題目背景新穎.天氣的好壞是一個不確定因素，合理的決策取決于最好的收益，利用求出收益的數學期望來解決實際問題.

二、兩組隨機變量的數學期望間比較

例2（2018南通市高三數學學科基地測試）某手機大賣場進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費1000元便可獲得獎券一張，每張獎券的中獎概率為，中獎后商場返還顧客現金1000元.小李購買一臺價格2400元的手機，只能得到2張獎券，于是小李與同事小王商量決定補償50元給同事小王，讓小王買了一臺價格600元的天翼手機，這樣小李可以得到3張獎券，同行的小張認為小李這樣不劃算.請問小李這樣出資50元多得到一張獎券，到底是否劃算？請說明理由.

分析：解決本題的關鍵是：小李若出資50元則得3張獎券，若不出資50元則得2張獎券，對小李實際出錢數這兩組隨機變量的數學期望進行比較.

解：設小李出資50元抽獎后的實際支出為X（元）；不出資50元抽獎后的實際支出為Y元.

那么X的可能取值為：-550，450，1450，2450；Y的可能取值為：400，1400，2400.

這樣X的分布列為：

則小李出資50元抽獎后實際支出的數學期望為E（X），

則小李不出資50元抽獎后實際支出的數學期望為E（Y），

顯然E（X）＜E（Y），

因此，小李出資50元增加一張獎券是劃算的.

評注：本題是對兩組隨機變量的數學期望進行比較，從而選優的一類實際應用題，這類題在各類考試中比較常見.正確分辨兩組隨機變量，并計算出它們的概率分布是解決這類問題的前提.

例3在某學校組織的一次籃球投籃比賽中，規定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第3次，然后計算得分作為比賽成績.已知某同學在平時的訓練中在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2，且該同學先在A處投一球，以后都在B處投，用X表示該同學投籃訓練的總分，其中P（X＝0）＝0.03.現該同學有兩種參加方案：甲方案是先在A處投一球，以后都在B處投；乙方案是只在B處投籃.根據平時的訓練成績該同學應選擇哪種方案？

分析：解決本題的關鍵是：先求出該同學在B處的命中率，然后分別求出這兩種方案中得分的數學期望，通過比較兩種方案各自的數學期望，再從中選擇合適的方案.

解：由題設知，“X＝0”對應的事件為“在三次投籃中沒有一次投中”，

因為q1＝0.25，所以解得q2＝0.8.

因此甲方案的數學期望E（X）＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.

如果用乙方案：

因此乙方案的數學期望E′（X）＝0.008×0＋0.096×2＋0.896×4＝3.776.

因為E′（X）＞E（X），即乙方案的平均得分更高.

所以在比賽中該同學應選擇使用乙方案.

評注：本題是關于離散型隨機變量的一道綜合題，題中的已知條件沒有直接給出在B處的命中率，要先求在B處的命中率，才能求出兩組隨機變量的數學期望，通過對數學期望進行比較，從而解決選優的一類實際應用題.

三、隨機變量的數學期望與函數結合

例4（2009南通市第二次調研測試）某電器商經過多年的經驗發現本店每個月售出的電冰箱的臺數ξ是一個隨機變量，它的分布列為1，2，…，12）；設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元.如銷售不出，則每臺每月需花保管費100元.問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使月平均收益最大？

分析：解決每月初購進冰箱的臺數，取決于月收益的數學期望，又因為每月收益是隨機臺數ξ的分段函數，所以本題的關鍵是列出收益關于隨機變量ξ的函數關系式.

解：設x為電器商每月初購進的電冰箱的臺數，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況.

于是電器商每月獲益的均值即數學期望為：

因為x∈N*，所以當x=9或x=10時，數學期望最大.

答：電器商每月初購進9臺或10臺電冰箱時收益最大，最大收益為1500元.

評注：本題是通過求離散型隨機變量均值以解決實際問題，本題的一個“亮點”是巧妙地將概率知識與二次函數融合起來，考查了離散型隨機變量的概率、均值、分段函數以及二次函數區間內的最值等知識點，既考查了考生的基礎知識又考查了考生的邏輯思維能力.

數學期望是離散型隨機變量的一個重要特征，它體現了隨機變量的平均水平，是解決“決策”類實際應用題的“衡量標準”.F