基于模態(tài)試驗(yàn)的機(jī)床結(jié)合部動(dòng)剛度參數(shù)識(shí)別*

肖雄亮，楊閃閃, 方月娥

(1.湖南信息學(xué)院 電子信息學(xué)院，長沙 410151；2.四川大學(xué) 空天科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065；3.水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電力工程系，長沙 410131)

0 引言

機(jī)床整機(jī)結(jié)構(gòu)通常由不同的子結(jié)構(gòu)以及連接各子結(jié)構(gòu)的結(jié)合部組成。由于結(jié)合部間的動(dòng)態(tài)參數(shù)是影響整機(jī)動(dòng)態(tài)特性的主要因素之一，有研究表明：機(jī)床中結(jié)合部的接觸剛度約占機(jī)床總剛度的60%～80%[1-2]，結(jié)合部的接觸阻尼占機(jī)床全部阻尼的90%以上，結(jié)合部引起的變形量約占機(jī)床總變形量的40%～60%[3]。所以準(zhǔn)確辨識(shí)結(jié)合部動(dòng)態(tài)參數(shù)是整機(jī)動(dòng)態(tài)性能分析與優(yōu)化的前提。

國內(nèi)外的學(xué)者針對(duì)結(jié)合部提出了很多辨識(shí)方法。這些方法中最常見的有兩類，分別為：①將結(jié)合部接觸特性等效為彈簧阻尼單元的子結(jié)構(gòu)綜合法[7-10]。此法的辨識(shí)精度受實(shí)驗(yàn)設(shè)備數(shù)據(jù)采集精度的影響比較大。②將模態(tài)試驗(yàn)中獲取的模態(tài)固頻作為優(yōu)化目標(biāo)，將結(jié)合部剛度參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，通過迭代尋優(yōu)的方法實(shí)現(xiàn)結(jié)合部參數(shù)的辨識(shí)。此法的辨識(shí)結(jié)果為一等效動(dòng)剛度，無法得知?jiǎng)觿偠扰c激振力頻率間的關(guān)系。

本文在第一類辨識(shí)方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了避免難測點(diǎn)的完備頻響函數(shù)辨識(shí)公式。辨識(shí)過程中，將傳遞矩陣中難測點(diǎn)的頻響函數(shù)作為中間變量進(jìn)行消除，避免了因引入有誤差的頻響函數(shù)而造成的辨識(shí)結(jié)果不準(zhǔn)確；構(gòu)建了包含辨識(shí)關(guān)系的矛盾方程，并通過廣義逆矩陣對(duì)動(dòng)剛度信息進(jìn)行了等效處理。

1 動(dòng)力學(xué)理論建模

整機(jī)是由許多部件組成，部件與部件間的聯(lián)結(jié)部位則稱為結(jié)合部。實(shí)際情況下，組成結(jié)合部的零部間的相互關(guān)系是復(fù)雜的，但在簡化模型中，一般認(rèn)為它們之間是通過若干個(gè)結(jié)合點(diǎn)間的相互作用結(jié)果。而根據(jù)它們間的結(jié)合狀態(tài)又可以分為兩類：剛性聯(lián)結(jié)和柔性聯(lián)結(jié)。對(duì)于機(jī)床中廣泛存在的結(jié)合部，如螺栓結(jié)合部、直線導(dǎo)軌結(jié)合部和滾柱絲杠結(jié)合部等都?xì)w類于柔性聯(lián)結(jié)。此類聯(lián)結(jié)的結(jié)合面間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，是影響整機(jī)動(dòng)態(tài)特性的主要因素之一。因此，結(jié)合部間的柔性聯(lián)結(jié)有著重要的研究價(jià)值，通常采用彈簧阻尼單元模擬結(jié)合部間的動(dòng)力學(xué)特性。

研究中，可以將要研究辨識(shí)的結(jié)合部作為分界線，將整個(gè)結(jié)構(gòu)分成三部分。如圖1所示。分別為子結(jié)構(gòu)A、B及結(jié)合部J。因僅采用彈簧阻尼單元模擬結(jié)合部的儲(chǔ)存和釋放能量特性，結(jié)合部并無質(zhì)量元素，所以稱之為“虛”子結(jié)構(gòu)，結(jié)合部剛度和阻尼參數(shù)分別表示為ks和cs，柔性聯(lián)結(jié)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 一般結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

將子結(jié)構(gòu)J(結(jié)合部)從整體結(jié)構(gòu)中接除，在未聯(lián)結(jié)狀態(tài)下，此時(shí)整體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

(1)

令X=Xmaxcos(ωt+φ),并帶入到方程(1)可得整體結(jié)構(gòu)在未聯(lián)結(jié)狀態(tài)下的動(dòng)剛度D。

(2)

式中，ω為激振力的圓頻率。Xmax為振幅最大值；t為時(shí)間；φ為力與位移相對(duì)相位角。

而動(dòng)剛度D的表達(dá)式又可表示如下：

(3)

式中，H為整體結(jié)構(gòu)在未聯(lián)結(jié)狀態(tài)的傳遞函數(shù)矩陣。矩陣中存在一些零子塊矩陣那是因?yàn)樵诖藸顟B(tài)下子結(jié)構(gòu)A和B彼此獨(dú)立所致。

可將式(1)轉(zhuǎn)化為式(4)：

(4)

單獨(dú)考慮“虛子結(jié)構(gòu)”J，并假定所有彈簧、阻尼器是獨(dú)立的，可得運(yùn)動(dòng)方程：

(5)

其中，DJ—子結(jié)構(gòu)J的動(dòng)剛度矩陣，其具體形式為：

(6)

在聯(lián)結(jié)狀態(tài)下，整體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

(7)

式中，

(8)

整體結(jié)構(gòu)在含結(jié)合部和不含結(jié)合部兩種不同狀態(tài)下，其邊界條件的改變僅僅是要識(shí)別的結(jié)合部，前者為自由狀態(tài)，后者為非自由狀態(tài)。

由力學(xué)平衡條件可知：

(9)

由式(8)減式(3)有：

(10)

(11)

將式(11)展開可得式(12)：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(16)代入式(13)和式(14)可得：

(17)

2 等效剛度方法的研究

從上述動(dòng)剛度辨識(shí)公式可知，動(dòng)剛度DJ是HJ的逆解，因此可知它是一個(gè)非恒定值，是一個(gè)隨激振力頻率變化而變化的動(dòng)態(tài)值，可記作D(ω)。在D(ω)進(jìn)行有限元?jiǎng)恿W(xué)分析時(shí)需要代入一個(gè)等效值，所以需對(duì)其進(jìn)行等效處理。Ren等[11]提出了一種辨識(shí)和等效方法：

E(ω)Tfx=g(ω)

(18)

(19)

式中，E(ω)和g(ω)均為方程系數(shù)矩陣；Tf為轉(zhuǎn)化矩陣；x為結(jié)合部等效動(dòng)力學(xué)參數(shù)構(gòu)成的列向量。為簡化數(shù)據(jù)處理方式，本文采用了廣義逆矩陣的等效形式。將式(19)進(jìn)行拓展為式(20)：

(20)

將式(20)利用最小二乘法求解，即得等效動(dòng)剛度：

(21)

采用式(21)即可得到動(dòng)剛度D(ω)的等效剛度值。將得到的等效剛度值通過彈簧阻尼單元代入到含有結(jié)合部的有限元模型中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)所得的頻響函數(shù)、模態(tài)固頻和振型，驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性和本文方法的可靠性。

3 實(shí)驗(yàn)與方法驗(yàn)證

基于M+P噪聲振動(dòng)測試平臺(tái)進(jìn)行現(xiàn)場試驗(yàn)。試驗(yàn)設(shè)備包括數(shù)據(jù)采集器，力錘和傳感器。考慮研究對(duì)象的質(zhì)量，選擇移動(dòng)力錘法作為實(shí)驗(yàn)方式。通過Impact testing模塊驅(qū)動(dòng)PCB ICP加速度傳感器獲取敲擊點(diǎn)的頻響函數(shù)。正式試驗(yàn)時(shí)，刀具與刀柄按照加工時(shí)的預(yù)緊力預(yù)緊，選擇質(zhì)量、幾何尺寸較小的單向傳感器，以減少附加值質(zhì)量對(duì)研究對(duì)象頻響函數(shù)提取的誤差影響。測點(diǎn)布置選擇在結(jié)構(gòu)中心線上，以減少扭轉(zhuǎn)模態(tài)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。各個(gè)測點(diǎn)處均進(jìn)行4次測量，取平均值作為該點(diǎn)所提取的頻響信息，以屏蔽噪聲信號(hào)對(duì)測量的影響，并且力錘激勵(lì)的大小、方向盡量保持一致，盡量保證相干函數(shù)值接近1。

測點(diǎn)分布示意圖和試驗(yàn)現(xiàn)場圖如圖2所示。

(a) 模態(tài)試驗(yàn)測點(diǎn)布置圖

(b) 模態(tài)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場測試圖 圖2 模態(tài)實(shí)驗(yàn)測點(diǎn)分布與測試圖

根據(jù)預(yù)試驗(yàn)選取頻段為0～8000 Hz的頻響函數(shù)曲線，采樣步長為1 Hz。試驗(yàn)中采集的部分子結(jié)構(gòu)加速度導(dǎo)納頻響數(shù)據(jù)和組合結(jié)構(gòu)加速度導(dǎo)納頻響數(shù)據(jù)分別如圖3和圖4所示。

(a) 刀柄子結(jié)構(gòu)A的加速度導(dǎo)納

(b) 刀具子結(jié)構(gòu)B的加速度導(dǎo)納 圖3 子結(jié)構(gòu)各測點(diǎn)的加速度導(dǎo)納

圖4 組合結(jié)構(gòu)各測點(diǎn)加速度導(dǎo)納

根據(jù)上述推導(dǎo)的辨識(shí)公式，在Matlab中建立辨識(shí)函數(shù)方程，完成辨識(shí)任務(wù)最終求得等效動(dòng)剛度：

(22)

建立了包含結(jié)合部信息的動(dòng)力學(xué)有限元模型。因刀柄結(jié)構(gòu)結(jié)合面是一個(gè)圓柱面，因此，根據(jù)實(shí)際裝配與接觸情況在結(jié)合部的圓柱面間建立徑向彈簧阻尼單元，所建立有限元模型如圖5所示。

圖5 刀柄系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)有限元模型

試件材料屬性如表1所示。

表1 試件材料屬性

將辨識(shí)的結(jié)合部等效動(dòng)剛度信息代入到彈簧阻尼單元中并進(jìn)行頻響分析，在有限元模型中將測點(diǎn)2作為響應(yīng)點(diǎn)，測點(diǎn)1作為激勵(lì)點(diǎn)，所得頻響函數(shù)曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比如圖6所示。

圖6 本文方法預(yù)測效果圖

從上圖中可以看出，刀柄結(jié)構(gòu)的1階固有頻率仿真值和實(shí)驗(yàn)值分別為4924Hz和4926Hz，誤差為0.04%，2階固有頻率仿真值和實(shí)驗(yàn)值分別為7162Hz和7161Hz，誤差為0.013%。前兩階固有頻率較小的誤差率證實(shí)了實(shí)驗(yàn)值與仿真值的一致性，說明了辨識(shí)的結(jié)合部剛度值能有效預(yù)測刀柄結(jié)構(gòu)相關(guān)點(diǎn)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

有限元分析所得的模態(tài)振型與實(shí)測振型進(jìn)行比較，結(jié)果顯示，兩者的前2階振型具有良好的一致性，驗(yàn)證了本文方法的可行性。對(duì)比圖如圖7和圖8所示。

(a) 預(yù)測結(jié)果

(b) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖7 1階模態(tài)的ANSYS和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型對(duì)比

(a) 預(yù)測結(jié)果

(b) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

(1)辨識(shí)過程中，在實(shí)驗(yàn)的可測頻響和盡少的使用矩陣逆運(yùn)算的前提下，提出了將難測頻響作為中間變量的方法，避免了難測點(diǎn)頻響的估算和減少了逆矩陣的使用所引起的結(jié)合部剛度辨識(shí)誤差。

(2)拓展了辨識(shí)方程，通過廣義逆矩陣對(duì)動(dòng)剛度進(jìn)行等效處理，將矛盾方程轉(zhuǎn)化為定解方程，將非恒定的動(dòng)剛度轉(zhuǎn)化為一等效剛度值。

(3)利用M+P噪聲/振動(dòng)測試與分析實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)包含了結(jié)合部的刀柄結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)實(shí)驗(yàn)，利用實(shí)測頻響函數(shù)數(shù)據(jù)和代入辨識(shí)剛度值的有限元?jiǎng)恿W(xué)分析對(duì)比結(jié)果，闡明了辨識(shí)方法的可行性。