數(shù)學(xué)表示：從“知識(shí)放逐”到“知識(shí)回歸”

瞿芬

[摘 要]“數(shù)學(xué)表示”是指學(xué)習(xí)者利用文字、符號(hào)、圖示等形式，將自己對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、問(wèn)題解決的策略、結(jié)論的剖析呈現(xiàn)出來(lái)的一種學(xué)習(xí)媒介。因?qū)Α皵?shù)學(xué)表示”本質(zhì)認(rèn)識(shí)的不足，諸多問(wèn)題盤延而生。以翔實(shí)的課例為載體，圍繞“數(shù)學(xué)表示”的四個(gè)類型展開論述，提出相應(yīng)的應(yīng)用思路，進(jìn)一步闡明了“數(shù)學(xué)表示”在小學(xué)階段學(xué)生新知學(xué)習(xí)中的重要作用。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)表示;知識(shí);破題

現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性讓教師簡(jiǎn)單地將學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)定位于單線制的模仿和復(fù)制，最后形成學(xué)生強(qiáng)于計(jì)算、論證，卻不善于表示的尷尬局面。從某種程度來(lái)說(shuō)，這是邏輯思維和概括能力退化的表現(xiàn)。高度抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于小學(xué)生而言猶如撒落在地的珍珠，亟須一根堅(jiān)韌的“細(xì)繩”，將它們進(jìn)行串聯(lián)。這樣的教學(xué)趨勢(shì)就需要教師從數(shù)學(xué)學(xué)科本位角度著手，利用合理、合情的方法將數(shù)學(xué)的理論知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)媒介，幫助學(xué)生立足生活現(xiàn)實(shí)進(jìn)行建模，明晰弊端和差異，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、“數(shù)學(xué)表示”的現(xiàn)實(shí)描述

在數(shù)學(xué)教育不斷發(fā)展的當(dāng)下，利用“數(shù)學(xué)表示”為學(xué)習(xí)媒介正以其特有的可操作性及相對(duì)的運(yùn)用價(jià)值，得到一線教師極力推崇。2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)中更是在一些核心概念中滲透了“數(shù)學(xué)表示”的作用及意義。何為數(shù)學(xué)表示？“數(shù)學(xué)表示”是指學(xué)習(xí)者利用文字、符號(hào)、圖示等形式，將自己對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、問(wèn)題解決的策略、結(jié)論的剖析呈現(xiàn)出來(lái)，它是思維過(guò)程外顯、暴露的一種學(xué)習(xí)方式，是一種學(xué)習(xí)媒介，也是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。一般而言，“數(shù)學(xué)表示”分實(shí)物表示、語(yǔ)言表示、符號(hào)表示和圖式表示四類。但在教學(xué)實(shí)踐中因教師對(duì)“數(shù)學(xué)表示”認(rèn)識(shí)的不足，從而淡化了其運(yùn)用價(jià)值。

（一）信息干擾的實(shí)物表示

實(shí)物表示是“數(shù)學(xué)表示”中最為常見的一種，一般在概念教學(xué)中，為了讓學(xué)生能深層次地理解數(shù)學(xué)概念的深意，教師會(huì)提供一些物理客體，借用直觀材料，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)物的對(duì)比、分析，掌握新知。但一些直觀的材料在呈現(xiàn)的過(guò)程中，往往伴隨著大量的無(wú)關(guān)信息，容易讓學(xué)生受到眾多非本質(zhì)屬性的干擾，難以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)共性。

（二）趨于形式化的語(yǔ)言表示

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷變化的過(guò)程，它從簡(jiǎn)單、物化的自然語(yǔ)言為起點(diǎn)，經(jīng)過(guò)規(guī)范的引導(dǎo)，內(nèi)化為學(xué)生的自我語(yǔ)言，最后演變成外顯的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，但因?qū)W生的自身差異，會(huì)有不同程度的偏差。一些教師把數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示定位為簡(jiǎn)單的語(yǔ)言重復(fù)，學(xué)生只能在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)一知半解的情況下，死記硬背一些概念注解，使數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示趨于形式化，難于構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)理解。

（三）過(guò)于強(qiáng)調(diào)標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)表示

為了揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師都習(xí)慣讓學(xué)生通過(guò)一些數(shù)學(xué)符號(hào)，將具體形象的數(shù)學(xué)問(wèn)題加于概括和抽象，從而提煉其問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。但又因教師對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)表示標(biāo)準(zhǔn)的局限，限制了學(xué)生思維，縮小了概念的外延描述，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于常見的非本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)也產(chǎn)生了困惑。

（四）片面精細(xì)化的圖式表示

在認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師往往喜歡讓學(xué)生借用直觀、簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)圖式表示，以降低學(xué)生數(shù)學(xué)思考的難度，讓學(xué)生在概括中尋找數(shù)學(xué)表征，凸顯問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)思考的路徑，拓寬問(wèn)題解決的途徑，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決策略的優(yōu)化。但在實(shí)際的教學(xué)中，教師的圖式表示往往過(guò)于精細(xì)化，而沖淡了問(wèn)題解決的本意。

二 、“數(shù)學(xué)表示” 的應(yīng)用思路

（一）求同與求通：突出本質(zhì)，回歸知識(shí)本源

小學(xué)生雖具有一定的抽象思維能力，但面對(duì)以空間形式、數(shù)量關(guān)系為研究主題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，還是需要一些具象物體為中介物。因而，在教學(xué)中，教師選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表示方式，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的方法，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)歷“求同”到“求通”的過(guò)程，突出學(xué)科本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題形式化表達(dá)、方法模式化建構(gòu)的價(jià)值體現(xiàn)，回歸知識(shí)本源。

1.借用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程

抽象的“數(shù)學(xué)表示”有著不同的層次界定，一般而言，符號(hào)的替代是問(wèn)題解決的初始階段，它是學(xué)生將形象的表征特點(diǎn)概縮化的集中表現(xiàn)，凸顯了問(wèn)題的共性，特別是在低年級(jí)的教學(xué)中最為常見。

【案例1】人教版教材二年級(jí)上冊(cè)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”。

師：學(xué)校準(zhǔn)備給每個(gè)學(xué)生發(fā)2本書，有4個(gè)學(xué)生，學(xué)校要準(zhǔn)備多少本書？

生1：要準(zhǔn)備8本書。2+2+2+2=8（本）。

師：如果全班45個(gè)學(xué)生，有幾個(gè)4相加？你會(huì)列式嗎？

生2：45個(gè)2相加。

師：那你們寫一下吧！

生3：2+2+2+…+2，我寫得好累，好麻煩！

師：對(duì)！確實(shí)有點(diǎn)麻煩，有沒有更簡(jiǎn)單的表示方法呢？

生4：可在2和45中間添上一個(gè)符號(hào)，寫成2△45或45△2。

生5：還可以在2和45中間加一個(gè)☆，寫成45☆2。

師：你們所說(shuō)的“△、○、☆、*”也可以用 “×”表示。

師：這個(gè)符號(hào)就是乘號(hào)。仔細(xì)看這個(gè)符號(hào)，像什么？

生6：像字母“X”。

生7：我覺得它像“+”旋轉(zhuǎn)得到的。

師：2+2+2+2+2表示5個(gè)2相加，為了便于書寫和記憶，可以用一種特殊的符號(hào)“×”表示，寫成2×5。

評(píng)析：在本課例中，用“2× 45”來(lái)替代“45個(gè)2相加”這一煩瑣的加法算式，不僅使學(xué)生體會(huì)到了“符號(hào)表示”代替文字描述的簡(jiǎn)潔性，而且能讓學(xué)生在符號(hào)呈現(xiàn)的過(guò)程中暴露出數(shù)學(xué)思維過(guò)程，從而得到啟發(fā)，形成問(wèn)題解決的簡(jiǎn)易模型。

2.利用數(shù)學(xué)圖式表示，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維體驗(yàn)

小學(xué)生因?yàn)樗季S缺乏足夠的表象支撐，再加上教材篇幅的限制——只利用一兩道例題得出的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)生很難真正理解知識(shí)。因此，以教材例題資源為基礎(chǔ)，教會(huì)學(xué)生抽象的數(shù)學(xué)表示方式，在各種圖式表示的概括、比較中強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維體驗(yàn)，是加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解的主要方法。

【案例2】人教版教材二年級(jí)上冊(cè)“問(wèn)題解決”。

出示例題：1.教室里每排有5張桌子，一共4排，問(wèn)一共有多少?gòu)堊雷樱?.教室里有兩排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少?gòu)堊雷樱?/p>

師：你知道了些什么？

生1：對(duì)于第1題，我知道了有4排桌子，每排5張;對(duì)于第2題，我知道有兩排桌子，一排4張，另一排5張，兩道題都是求一共有幾張桌子。

師：你會(huì)解決嗎？能用你喜歡的方式把你的想法表達(dá)出來(lái)嗎？請(qǐng)動(dòng)筆試一試。

學(xué)生作品

師：說(shuō)說(shuō)你們的想法。

生1：第1題因?yàn)槊颗庞?張桌子，有這樣的4排，所以我畫了5顆五角星表示每排的5張桌子，然后畫了4排，就表示4個(gè)5。列式：5×4=20。第2題已經(jīng)告訴一共有兩排，一排5張，另一排4張，求一共多少?gòu)埦褪前褍刹糠趾掀饋?lái)用加法計(jì)算。

生2：“ 5×4”表示4個(gè)5相加，所以要一層層疊起來(lái);“5+4”表示把兩部分合起來(lái)，求總數(shù)，所以就將兩部分合成一部分。

評(píng)析：低年級(jí)學(xué)生分析能力弱，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的加法應(yīng)用題和乘法應(yīng)用題，往往會(huì)出現(xiàn)顛倒運(yùn)算的現(xiàn)象。為避免這樣的現(xiàn)象，教師可以嘗試?yán)脠D式表示方法引導(dǎo)學(xué)生將抽象的概念轉(zhuǎn)化具體表象。在本案例中，教師為了給學(xué)生提供一個(gè)抽象建模的具象支架，創(chuàng)設(shè)利用畫或?qū)懤斫忸}意的活動(dòng)情境，讓學(xué)生以整體觀念形成圖式支撐，通過(guò)畫圖、講述、比較，在自然辨識(shí)的基礎(chǔ)上感受用加法和乘法解決問(wèn)題的區(qū)別。從圖式來(lái)看，生1呈現(xiàn)的是一種結(jié)論的驗(yàn)證，而生2呈現(xiàn)的是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的整個(gè)思維過(guò)程，更具科學(xué)性。這樣一來(lái)，最大限度地提高了學(xué)生的審題意識(shí)。

（二）勾連與突破：跨越認(rèn)知，促數(shù)學(xué)技能形成

數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用是一個(gè)抽象到具體顯現(xiàn)的表示過(guò)程，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)固有的活動(dòng)感及問(wèn)題性，我們調(diào)和“知識(shí)儲(chǔ)備”與“方法強(qiáng)調(diào)”兩者之間的矛盾，創(chuàng)設(shè)抽象到具體的數(shù)學(xué)表示方法，教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的方法，促進(jìn)學(xué)生跨越認(rèn)知的局限，勾連知識(shí)點(diǎn)，突破教學(xué)的重難點(diǎn)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)方法真正累加、數(shù)學(xué)技能有效形成。

1.運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，銜接數(shù)學(xué)思維方法

以豐富的個(gè)性概括數(shù)學(xué)本質(zhì)的共性，對(duì)于小學(xué)生而言并不是易事，因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程是學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)涵掌握、知識(shí)應(yīng)用的一個(gè)完整過(guò)程，必須包含將實(shí)際獲得的發(fā)現(xiàn)過(guò)程還原為語(yǔ)言表達(dá)的思維過(guò)程;將邏輯演繹、推理猜想過(guò)程還原為語(yǔ)言表達(dá)的兩個(gè)維度目標(biāo)。可見，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示有著重要的作用與意義。

【案例3】人教版教材一年級(jí)上冊(cè)“6～9的認(rèn)識(shí)”。

師（課件出示實(shí)物圖片：課本第15、16頁(yè)）：你們能數(shù)出這些事物的數(shù)量，并根據(jù)數(shù)量說(shuō)一句話嗎？

生1：我知道，8個(gè)葫蘆。

生2：還有6個(gè)哨子。

生3：我找到9個(gè)勺子。

生4：還有7把小刀。

師：這個(gè)6表示什么？ （6個(gè)哨子）我們?cè)谑裁吹胤竭€能用到6？誰(shuí)能用6說(shuō)一句話？

生5：我有6個(gè)好朋友。

生6：我有6本課外書。

生7：我們組有6張桌子。

評(píng)析：在這個(gè)案例中，教師以問(wèn)題情境為導(dǎo)向，先讓學(xué)生把發(fā)現(xiàn)的、看到的東西的數(shù)量分別都用具體的數(shù)字說(shuō)出來(lái)，充分感受數(shù)“6”的意義;接著為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示的作用，借用“我們?cè)谑裁吹胤竭€能用到6？誰(shuí)能用6說(shuō)一句話？”這些問(wèn)題，讓學(xué)生呈現(xiàn)自己的思維過(guò)程，初步建立數(shù)感。這種學(xué)習(xí)方式，不是簡(jiǎn)單地形象化表述，而是適當(dāng)?shù)膯?wèn)題延伸及等待延時(shí)的開始，因?yàn)椋@樣的學(xué)習(xí)過(guò)程能讓學(xué)生的思維不斷得以拓展，真正做到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的合理掌握。

2. 巧用數(shù)學(xué)實(shí)物表示，突破數(shù)學(xué)思維局限

當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與數(shù)學(xué)的本質(zhì)是有所偏差的，一些學(xué)習(xí)缺失研究過(guò)程完整地呈現(xiàn)，不能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識(shí)。這時(shí)，就需要為學(xué)生提供揭示知識(shí)本質(zhì)的時(shí)機(jī)和方式，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展。

【案例4】人教版教材五年級(jí)下冊(cè)活動(dòng)課“長(zhǎng)方體和正方體的展開和折疊”。

師：正方體展開后會(huì)得到什么形狀的圖形？

學(xué)生動(dòng)手操作，初步探究。展開要求：

①沿棱展開。

②邊展邊想，相對(duì)的面跑哪里去了？

③全部展開后，將展開的圖形記錄在作業(yè)紙上。

④想一想還有沒有其他不同的展開方式。

各小組的成果

師：像這樣由立體圖形展開得到的平面圖形叫作長(zhǎng)方體和正方體的展開圖。 觀察展開圖，有什么特點(diǎn)？

生：相對(duì)的面的位置隔了一個(gè)面，展開圖不唯一，有四個(gè)面連在一起的，也有三個(gè)面連在一起的。

評(píng)析：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師巧妙設(shè)計(jì)，利用玩具磁力片來(lái)代替常用的盒子，先讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物的動(dòng)手操作過(guò)程，尋找知識(shí)的切合點(diǎn)，促使學(xué)生對(duì)原有的知識(shí)有一個(gè)連貫、互動(dòng)的運(yùn)用，避免了“一四一型”的思維定式;再讓學(xué)生進(jìn)行任意的展開和折疊，進(jìn)而積累操作經(jīng)驗(yàn)。

總之，教與學(xué)是一個(gè)不重復(fù)、多元化、不斷變化發(fā)展的過(guò)程。在這一過(guò)程中，“數(shù)學(xué)表示”引領(lǐng)我們從一個(gè)新的視角展開教學(xué)。為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的自然生成和運(yùn)用，每位教師需理性地審視自己的課堂，學(xué)會(huì)合理運(yùn)用“數(shù)學(xué)表示”，準(zhǔn)確把握學(xué)生發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，，有效建構(gòu)模型，將“放逐”的知識(shí)回歸，實(shí)現(xiàn)教學(xué)資源的高效利用。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 張奠宙，過(guò)伯祥.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海：上海教育出版社，1996.

[2] D.A.勞格斯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)[M].上海：上海教育出版社，1999.

[3] 劉加霞.數(shù)學(xué)表示對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值分析：兼評(píng)華應(yīng)龍老師執(zhí)教的“指尖上的數(shù)學(xué)”一課[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)），2015（1）：13-15.

（責(zé)編 黃春香）