《簡單的三角恒等變換》教學設計

肖奮勇

摘 要半角公式推導過程中主要是將二倍角的三角函數值轉化為單角的三角函數值，教學過程主要是引導學生重點觀察余弦的二倍角公式，掌握角的倍、半間關系，不斷培養學生的觀察能力、靈活運用能力；和差化積、積化和差公式的推導，通過引導學生觀察式子的結構，聯系兩角和（差）的正弦公式，重點突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等。

關鍵詞化歸、換元、方程、逆向使用公式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）08-0176-01

一、教學目標

1.通過二倍角的變形公式推導半角的正弦、余弦、正切公式，體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數學思想，提高學生的推理能力。

2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會利用公式進行簡單的恒等變形，體會三角恒等變形在數學中的應用。學習三角變換的內容、思路和方法，在與代數變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力。

3.通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力。

二、教學重點與難點

教學重點：引導學生以已有的十一個公式為依據，推導半角公式、積化和差、和差化積公式。

教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。

三、教學過程

1.復習公式：

公式變形：

2.例1：試以 表示

【設計意圖】在熟練掌握倍角公式的基礎上，理解角的倍、半間的相對性，提高學生的公式變換能力，培養學生運用方程思想、換元思想解決數學問題的能力。

【師生活動】教師——出示問題，讓學生自主探究，教師重在引導學生分析角的倍、半間的關系。并注意從一般思路引導：要用一個表示另一個，如果能找到它們之間的一個關系式，那么根據方程思想，問題差不多就可以得到解決了。

總結：掌握各個公式的推導過程，是理解和運用公式的首要環節，熟練地運用公式進行升冪和降冪。

3.思考：（1）已知 ，如何求

（2）代數式變換與三角變換有什么不同呢？

【設計意圖】思考：（1）重點培養學生的靈活運用公式的能力，從而引入半角公式，增強學生對三角公式的進一步理解；（2）主要引導學生對“所包含的角，以及這些角的三角函數種類的差異”對三角變換的影響進行認識，從而使學生更好地把握三角恒等變換的特點。

4.例2：求證

（1） ；

（2） 。

【設計意圖】本例引出的和差化積和積化和差公式，有其結構上的同構特點，反映了角 的三角函數與角 的三角函數間的內在聯系。另外，兩式之間又反映了由角 建立的轉換關系，這體現了數學上的對應轉換即映射反演的思想方法。

（五）變式訓練：已知

【設計意圖】鞏固三角公式，掌握運用三角公式進行恒等變形的常用方法，提高學生的綜合解題能力。

【師生活動】師生——學生自主探究，教師根據巡視情況指定具有典型思路的學生上黑板板書。教師進行點評，總結解題方法。

總結：證明條件三角恒等式要注意觀察條件和所要證的等式中角、三角函數名稱、運算等方面的關系。方法一可用代入法把 ，再把 ；方法二中可利用恒等式 消去條件中 的方法，即消元法，這是三角變換中常用的方法。

6.課堂小結

【設計意圖】通過總結，把學習的三角恒等變換知識進一步歸類，使知識系統化，培養學生的綜合分析問題的能力。

【師生活動】師生——總結本節涉及的思路和方法：

（1）三角函數式的化簡常用方法：

①直接應用公式進行降次、消項；

②化切為弦，異名化同名；

③三角公式的逆用等。

（2）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”。

（七）布置作業：

四、板書設計

簡單的三角恒等變換