換元法解題探究

摘?要：換元的思想和方法無論在初等數學中，還是高等數學中，應用都很廣泛，如因式分解、解方程（組）、根式化解、證明不等式、求函數的定義域和值域、解數列問題等等。靈活巧妙地運用換元法解決問題，可化繁為簡，化難為易，達到事半功倍的成效。本文將以如下問題為例進行簡要分析說明。

關鍵詞：換元法;解題思路;波利亞解題步驟

中學數學教育對學生思考問題和解決問題等方面十分注重，因為這不僅與學生思維邏輯的培養有較為密切的關系，并且與中學生的升學要求相聯系，有思想深度的課堂，能給學生留下長久的思想激動和對知識的深刻理解，進行數學教學的根本目的，是通過一些數學思想方法的傳授，要讓學生形成一種“數學頭腦”，使他們在觀察問題和提出問題、解決問題的每個過程中，都帶有鮮明的數學色彩，這樣的數學一定會有真正的實效和長效，真正提高人的素質。對于解題這一范疇我們同樣需要形成思維模塊，針對不同的問題采取不同的解題方法，在這些十分巧妙的解題方法中有一種千變萬化的解題思路即換元法，中學數學教材中很多內容都體現了換元的思想方法，由于在一些傳統的教學模式的培養下，學生往往養成復制、模仿的習慣，死記硬背，生搬硬套，不會解釋，更不會靈活應用換元法，養成這種習慣，常會因為知識系統中某一環節的缺失而犯系統性錯誤，使學生學習處于被動狀態，這對學生學習是非常不利的，為幫助學生更好的應用換元法，接下來從一道例題出發，以此來體會換元法的巧妙。

例1?設x，y，z∈（0，1）且滿足x+y+z=1。求證：

xx+yz+yy+zx+zz+xy≤332;

要解決以上問題，可以根據美國著名數學家和數學教育家波利亞所編寫的《怎樣解題》中的解題步驟進行相應的解答。

第一步，弄清問題，如未知數是什么、已知數據是什么、條件是什么等等。結合本題，已知條件為x，y，z∈（0，1）且滿足x+y+z=1，要求證的是一個不等式。

第二步，擬定計劃，恰當的換元有較強的技巧性和一定的難度要求，在換元解題時，究竟要引入什么樣的替換變量和怎樣引入，不同的問題有不同的方法和技巧，從不同的角度考察，代換形式也有所不同。換元法就思想方法可以分為整體代換、局部代換;就新元的特征可分為三角代換、均值代換、增量代換、復變量代換;就被換元的形式可分為常數代換、式的代換。

針對例1通過觀察其結構特征發現題中的未知數都處于同等地位，猜想對不等式左邊的三部分任取一部分進行研究，不妨取xx+yz。在題目中有x，y，z的范圍，與“p+q+r=1，且0≤p，q，r≤1，求證：p+q+r≤3”有相似之處，如果能解決這個問題對解決例1有很大的幫助。

p+q+r=1，且0≤p，q，r≤1，求證：p+q+r≤3。

分析：∵p，q，r三者都在0～1之間，符合三角函數值域的范圍，

∴可作三角代換。

證明：令p=cos2α，q=sin2αcos2β，r=sin2αsin2β，其中α，β∈[0，π2]，則p+q+r=cos2α+sin2αcos2β+sin2αsin2β=cosα+sinαcosβ+sinαsinβ=cosα+sinα（cosα+sinα）=cosα+2sinαsin（β+π4）cosα+2sinα=3sin（α+φ）3。

結合以上的分析和解題過程發現與例1類似的地方就是變量的范圍和三者之和為1，由于例1中的變量在其結構是同等地位且不等式中含有分數形式，所以猜想如果能把p，q，r代換成同種結構是最好的，經過多次嘗試發現了一種代換方式能同時滿足上面兩個條件并且三個變量通過換元后的結構一致。

分析：在△ABC中，有恒等式tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1，設x=tanA2tanB2，y=tanB2tanC2，z=tanC2tanA2，其中A，B，C是△ABC的三內角，這樣即可實現代數不等式和三角不等式的互換。

第三步，實施計劃，按照第二步的分析過程進行相應的具體解題步驟的書寫。

證明：∵x，y，z>0，且x+y+z=1

∴設x=tanA2·tanB2，y=tanB2·tanC2，z=tanC2·tanA2，其中A，B，C是△ABC的三內角，則有以下等式成立：xx+yz

=tanA2·tanB2tanA2·tanB2+tanB2·tanC2·tanC2·tanA2

=11+tan2C2

又∵cosα·secα=1，1+tan2α=sec2α

∴11+tan2C2=cosC2·secC2sec2C2=cosC2secC2=cos2C2=cosC2

即xx+yz=11+tan2C2=cosC2。

同理yy+zx

=tanB2·tanC2tanB2·tanC2+tanB2·tanC2·tan2A2

=11+tan2A2=cosA2

zz+xy=tanC2·tanA2tanC2·tanA2+tanA2·tanC2·tan2B2=11+tan2B2=cosB2。

設f（x）=cosx，x∈（0，π2），則有f′（x）=-sinx<0，f（x）=-cosx<0。由琴生不等式可知cosA2+cosB2+cosC2cosA2+B2+C23=cosπ6=32

∴cosA2+cosB2+cosC2≤332

∴xx+yz+yy+zx+zz+xy≤332

第四步，回顧反思，看到這道題的第一眼時并沒有太多想法，因為本道題首先給出的條件很少，其次帶有根號，難度可想而知。一看到不等式證明腦海中的第一個想法就是利用均值不等式進行求解，但結合例1中要證明的，發現并不好實施，所以需要下一步的考慮。通過觀察其結構特征，能夠發現變量之間的聯系，再結合與之相似的例題，得出可以通過三角換元的方法進行證明，緊接著比較兩者之間的相同點與不同點，找到恰當的形式作出相應代換。由于換元后的形式有些復雜，所以通過三角函數中合適的并且已經明確的一些等式來進行一步接一步的化簡，以至能達到我們期望的結果，即將不等式左邊的三項全部轉化成熟悉的余弦函數的形式，最后的點睛之筆就是對琴生不等式的應用。琴生不等式給出的是凸函數值和凸函數的積分值間的關系f（x1+x2+x3+…+xnn）≥

f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）n與本題所要得出的結果有類似的地方，所以最后采用琴生不等式做最后化簡并得出相應結論。

參考文獻：

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[3]羅燦，方厚良.用換元法使三角函數的學習“活”起來[J].中小學數學：高中版，2016（1）：106-107.

作者簡介：

李珊，四川省南充市，西華師范大學。