經典幾何問題及變式教學：復習備考的關注點
——從一道幾何綜合題的講評說起

☉江蘇省常熟市王莊中學 王裕龍

進入中考二輪復習階段，常常開展綜合試卷訓練，訓練之后就要安排講評，如何對一些有難度的綜合題進行講評往往需要精心設計.本文從一道幾何綜合題的講評出發，進一步闡釋我們對解題教學的一些思考.

一、幾何綜合題的解法與講評案例

幾何綜合題：（2019年4月某校中考模考卷，倒數第二大題）如圖1，等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點，點D關于直線AB的對稱點為點E，連接AD、DE，在AD上取點F，使∠EFD=60°，射線EF與AC交于點G.

（1）設∠BAD=α°，求∠AGE的度數（用含α的式子表示）；

（2）探究CG與DE之間的等量關系，并證明.

思路貫通：（1）把目光聚焦在△AFG中，借助三角形內角和，可分析出∠AGE的度數為（60+α）.

圖1

圖2

（2）如圖2，在AC上截取CM=BD.由全等容易證出BM=AD.再利用（1）中的進展，導角（∠EAG=∠EGA=（60+α）°）證出AE=GE，從而有AE=AD=BM，于是EG=BM.進一步導角（∠EFD=∠ENM=60°）證出EG∥BM.于是四邊形BEGM是平行四邊形，所以GM=BE=BD=CM.于是M為CG的中點.所以CG=2BD.而DE=，思路接通，即2DE=.

反思回顧：在上述思路中，有幾處關鍵步驟，分別是：證出AE=GE；作出輔助線BM，證出四邊形BEGM是平行四邊形；證出M是CG的中點；想清△BDE是含120°的等腰三角形.

不同思路：如圖3，延長GE、CB交于點P，通過導角證出∠PBE=∠ABE=∠C=60°，可得BE ∥CG，∠PEB=∠PGC=∠ADB=∠AEB=120°-α°.于是可證△ABE△PBE，從而得BP=BA=BC，PE=AE=EG，于是BE是△PCG的中位線，從而貫通思路.

圖3

解題教學微設計：“從等邊三角形出發”.

引例熱身：如圖4，等邊三角形ABC中，點D、M分別在邊BC、AC上，且BD=CM，連接AD、BM，它們的交點為G.

（1）求證AD=BM；

（2）證明（1）之后，請再提出兩個問題并解答.

圖4

圖5

教學組織：學生在證出全等之后，可以繼續提出一些角相等的問題，認識深刻的也可得到AD、BM的夾角的度數.

考題講評：見上文幾何綜合題.

教學組織：安排學生逐個分析上面考題“反思回顧”中提到的幾處關鍵步驟，在少數優秀學生貫通思路之后，讓其他學生再復述思路.為了鞏固這道考題的講評效果，再給出一道變式改編習題.

變式再練：如圖5，等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點，點D關于直線AB的對稱點為點E，連接AD、DE，在AD上取點F，使∠EFD=60°，射線EF與AC交于點G.

（1）求證GE=AD.

（2）小睿提出一個等式：CG=k·DE，并發現實數k是一個定值.請判斷“小睿的發現”是否正確，并說明理由.

變式意圖：第（1）問在原考題第（1）問的基礎上就可得出，為第（2）問提供了鋪墊.第（2）問在原考題第（2）問的基礎上變換不同的設問方式，本質上是一樣的，講評時要引導學生體會“它們是一樣的”.

二、幾何綜合題解題教學的幾點思考

1.精心預設幾何綜合題的教學組織

幾何綜合題作為一份試卷中的把關題之一，往往能順利完整解答的學生并不是很多，在講評之前，教師要做好充分的課前準備，主要是針對幾何綜合題的深刻理解，特別是幾何題幾個小問之間缺少的鋪墊步驟，在備課時需要充分想清，然后對如何引導學生突破關鍵步驟進行鋪墊式設問，這也是上面講評過程中我們預設一個“引例熱身”的教學立意.此外，在講評較難問題之后，還可基于原考題的“結構”進行必要的變式改編，以便學生進行鞏固訓練.

2.解題教學進程讓學生講關鍵步驟

在講評較難的幾何綜合題時，需要教師主導的啟發式講授，但是當關鍵步驟得到突破之后，教師就需要充分“讓學”，讓學生學，讓學生講.比如，上文綜合題講評時，當關鍵步驟都接通之后，就安排學生進行整個思路過程的講述，然后安排兩到三人進行復述，在復述的過程中可以看出學生對該題解題思路是否真正理解，同時可以讓一些“后進生”贏得時間充分理解、想通思路和解法.想來，我們常常在觀摩一些專家教師的課堂教學中聽到“請你再說一遍”，大抵也是這個意圖吧.

3.解后揭示幾何綜合題的深層結構

解題教學在學生都能順利貫通思路之后，還需要跟進一個重要的教學環節，即引導學生解后回顧反思，促進學生對幾何綜合題的深層結構有較為深刻的理解，對解題過程中的關鍵步驟更加明確，還可幫助學生提煉一些基本圖形及性質，特別是教材上提到的一些經典問題、高頻習題都可進行必要的鏈接、對比，讓學生感受一題多變、多題歸一，堅持這樣做，有利于學生“做一題，會一類，通一片”.

三、復習備考要特別重視經典幾何問題的變式教學

1.重視選用教材中的經典幾何問題

當前復習備考有一個很大的選題誤區，即每節課都大量選用所謂的中考真題，而且這些中考試題來自全國各地中考試卷，似乎鏈接了中考真題就是在有效、精準備考，殊不知，全國各地中考試卷風格差異巨大，各具特色，多數中考試題并不適合本地的復習備考.如果實在要在復習中體現中考元素，也應該盡可能多關注本地區中考真題的考查特點，而不要盲目選取外地的中考試題，特別是一些來歷不明的所謂名校考題、模考試題、“網紅題”.相對而言，比較重要的一個選題方向是到教材上挑選經典幾何問題進行復習，因為教材上所選的例、習題都是經過精心挑選的，幾何圖形簡潔、性質深刻，值得思考，中考命題都是“依標靠本”，而經典幾何問題常常是中考命題組改編的重要來源，所以師生在復習備考時要充分重視教材中的經典問題，而不能左顧右盼，舍本逐末.

2..經典幾何問題教學時要注重變式

經典幾何問題在復習課上選用時，并不是簡單的讓學生再做一遍、多做幾遍，而要盡可能發揮經典幾何問題的教學功能，本文選用的一道幾何綜合題其實就是對經典幾何問題的變式改編，只是在兩個不同設問中拉開了“很大的距離”，學生解題時需要接通這些“距離”，接通的過程就是把很多經典問題通過輔助線完善起來、連接起來的過程.這就啟發我們，在復習備考過程中，要善于把經典幾何問題進行改編包裝，以訓練學生識別這些包裝，練就“火眼金睛”，達到快速解題的目的.關于變式改編，需要教師修煉命題能力，比如，針對經典幾何問題，可以對問題進行必要的拓展，深入挖掘可能的結論；也可針對經典幾何問題的條件和結論進行置換，研究互逆命題，并證明它們是否仍然是真命題；還可以將經典幾何問題以新定義的方式包裝改編，讓學生識別問題結構.可以發現，數學教師的專業基本功除了“善于舉例、善于提問、善于優化”（鄭毓信教授語），還需要鉆研命題功夫，不只是出一份試卷時才需要命題能力，日常課堂教學中針對例、習題的改編和變式更需要我們有扎實的命題功夫.