對模態命題邏輯的簡單介紹

謝 倩

(中央財經大學文化與傳媒學院，北京 100001)

一、引言

模態邏輯作為一門重要的學科包括了道義邏輯和時態邏輯(或時間邏輯)可以處理許多用命題邏輯無法解決的難題。且在我們生活、學習和工作中都發揮著或大或小的作用，尤其是在人工智能與計算機領域中。

二、命題邏輯

命題邏輯①是研究以命題為最小單位的命題形式。我們普遍認為，命題邏輯是模態命題邏輯的基礎，所以探究模態命題邏輯之前，我們首先要了解命題邏輯的形式系統。

(一)命題邏輯的形式系統p

1.初始符號

命題變元：p1,p2,…

普通符號：(，)

2.形成規則

對所有命題變元p是原子命題，那么p是公式；

假設α，β是公式，那么α→β也是公式。

3.公理

從直觀上來說，命題邏輯的形式系統為后來模態命題邏輯的形式系統的建立奠定了基礎。

三、模態命題邏輯

模態命題邏輯中的“模態”通常是指事物或認識的必然性和可能性等這一類的性質②。所以引入了“必然”和“可能”這兩個概念，在一般情況下，通常把“必然性”和“可能性”稱為模態詞，符號表示為“□”和“◇”。除了單個的模態詞，還有可能出現“□◇□□”或“□□”這類多個模態詞在一起，而這種由單個模態詞疊加在一起的情況又稱為疊置模態詞③。

(一)模態算子

● 明天會下雨。p

● 必然明天會下雨。□p

● 可能明天會下雨。◇p

(二)模態命題邏輯的形式系統PM

1.初始符號

命題變元：p1，p2，…

普通符號：(，)

模態詞：□

2.形成規則

對所有命題變元p是原子命題，那么p是公式；

假設α，β是公式，那么α→β也是公式；

假設α是公式，那么□α也是公式。

3.引入符號

模態命題邏輯在命題邏輯的基礎上增加了符號的引入，可以解決一些命題邏輯無法解決的事情。

(三)模態命題系統K、D、T、B與S4、S5

1.正規系統K

K系統是模態命題邏輯中最小的形式系統，K被視為命題邏輯的擴張系統。所以我們在討論K系統時，同樣要以前面提到的命題邏輯的系統為基礎來認識了解。

K系統通過擴張形成的最終系統為K=P+K+N。P是命題邏輯的形式系統，包括初始符號，公理和一些導出規則。Κ是K系統中新增加的一條公理：□(p→q)→(□p→□q)。因為相對于命題邏輯引入了模態詞，所以K系統還加入了必然化規則：如果有α，那么可以有□α。除此以外，我還選取了幾個較為重要的定理和推理規則。

2.正規系統D和T

● 明天有比賽。P

● 可能明天有比賽。□p

● 一定明天有比賽。◇p

從上面三個舉例的語句意思通過常識進行分析，“可能明天有比賽”意味著明天比賽或者不比賽的概率各占一半；“一定明天有比賽”無條件明天百分百要比賽。借用概率來分析，必然可能與普通命題的強弱如下：□p>p>◇p。而這個種強弱關系也恰好對應了正規系統D和T的兩個新增公理。

兩個系統都以K為基礎系統，在K的基礎上又分別加入了公理D：□p→◇p和公理T：□p→p。由強弱關系可以知道，□p是最強的。所以在有了必然為前提之后，可以推出◇p或者p。

值得一提的是，道義邏輯使用D系統進行正式的研究與解釋。

3.正規系統S4和S5

雖然在前面的T系統已經是擴張的“最大”系統，但是就T系統而言仍然無法解決疊置模態詞這一問題。而系統S4和S5建立可以解決關于疊置模態詞這個難題。

S4系統是在K和T的基礎上增加了公式4：□p→□□□p。S_5系統樣是在K和T的基礎上增加了公式E：◇p→□◇p。所以S4與S5都是K、T的擴張。

4.正規系統B

B系統是在T的基礎上又加入了新公理B：p→□◇p，即B=KTB。從擴張系統來看，B系統和S4都是T系統的擴張系統，所以這兩個系統是平行關系，不存在相互之間的擴張關系。

我們只重點討論了上面六種正規系統④。但是模態系統中卻有很多作用不同的系統。就探討的這六個正規系統，通過圖形來了解這它們之間的關系：

四、可能世界語義

在命題邏輯中，我們研究的主要是語形和語義。語形主要是指形式化系統之類的，如前面所說到的命題邏輯系統或者將一句話通過符號形式化表達。而語義主要是通過賦值研究命題的真假。模態命題邏輯也是如此，但是因為模態命題邏輯引入了模態詞，相對于命題邏輯新增了很多不同的表達，所以萊布尼茨提出了“可能世界⑤”這一概念希望能解決這些新出現的問題。

(一)模型的構建

在萊布尼茨可能世界里，可以有這樣幾種解釋：

命題α任何的可能世界中是必然的，當且僅當，命題α在所有的可能世界里都為真。用符號形式化之后可以表達成：

V(□α，w)=1?任w′∈W，V(α，w′)=1。

進一步可以表達成：V(□α，w)=1?任w′，若Rww′，則V(α，w′)=1。

萊布尼茨通過引入一個關系R，將可能世界w與另一個可能世界w′產生一種聯系，而這個關系就是可通達關系。在整個可能世界W中，有許多小的w′,w″,…wn，我們也可以將它看成是集合的關系，即集合W。這樣，在對一個模態形式解釋的前提就必須有三個基本前提：第一，可能世界W。第二，可通達關系R和第三，賦值V。其中是框架，也是基礎構造.在加入賦值V后就構成了一個完整的解釋，稱它為模型。

假設w∈W，w′∈W，w″∈W，……，wn∈W過圖形來進行描述：

由上圖可知，在可能世界W中的w中，令□(□α的賦值為真)，即V(□α)=1，R關系是w可通達w′，那么在w′中，α的賦值也為真，即V(α)=1。

我們在上面只討論了關于必然算子□在可能世界中的模型。在可能世界中，令可能算子◇α賦值為真，即V(◇α)=1，R關系同樣是w可通達w′，但是在w′中只存在一個α賦值為真，即V(α)=1。通過簡圖來描述：

五、小結

總而言之，模態命題邏輯的發展離不開命題邏輯，而模態命題邏輯可以解決問題的范圍遠遠大于命題邏輯。模態命題邏輯雖然有很多形式系統，但正規系統只有六個，而正規系統K是所有其它正規系統中包容性最大的，因此K系統才和命題邏輯作為基礎讓其它的系統得到擴張。本文在前人現有基礎上加入自己的理解對模態命題邏輯進行描述與討論。

[ 注 釋 ]

①命題邏輯：單個或多個原子命題通過一元連接詞或二元連接詞組合而成.

②“這類性質”：除了可能性和必然性還有其它的性質(疊紙模態詞)，如不可能性，偶然性必然的可能性等.

③疊置模態詞：一般在S4、S5系統中出現.

④正規系統：對K系統進行擴張的系統.

⑤可能世界：萊布尼茨為更好對模態邏輯進行語義分析而創造.