基于區(qū)間二型模糊摩擦補(bǔ)償?shù)聂敯糇赃m應(yīng)控制

羅剛 王永富 柴天佑 張化鍇

摩擦現(xiàn)象在機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)中普遍存在,隨著工業(yè)化加快,動(dòng)力系統(tǒng)的位移精度、速度精度等有更高的要求,例如高精度數(shù)控機(jī)床、機(jī)械手臂、電子產(chǎn)品等行業(yè).由于摩擦力的非線性和不確定性,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生輸出誤差,降低系統(tǒng)控制精度和工作性能,已經(jīng)成為控制領(lǐng)域的難題[1?6].

近年來(lái),研究人員主要從兩方面對(duì)摩擦補(bǔ)償控制策略進(jìn)行研究,一方面是基于已知摩擦數(shù)學(xué)模型,設(shè)置控制系統(tǒng)中控制量包含抵消摩擦項(xiàng);另一方面是在摩擦模型未知的情況下進(jìn)行補(bǔ)償建模控制.摩擦數(shù)學(xué)模型是根據(jù)摩擦機(jī)理的研究和實(shí)驗(yàn)建立具體表達(dá)方式,但是這種數(shù)學(xué)模型只是真實(shí)摩擦力的近似表達(dá)式,并不完全準(zhǔn)確;另外系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行的工作環(huán)境比較復(fù)雜,摩擦模型自適應(yīng)特性較差、也會(huì)導(dǎo)致模型的不精確.因此不依賴摩擦模型的補(bǔ)償方法受到廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[7]分別從摩擦模型、摩擦系統(tǒng)分析工具、摩擦補(bǔ)償控制方法等方面進(jìn)行詳細(xì)闡述.從文獻(xiàn)[7]可以看出摩擦研究在各個(gè)領(lǐng)域取得重大成果.但是,近20年來(lái),工業(yè)控制的精度要求越來(lái)越高,不確定性摩擦在機(jī)械系統(tǒng)中普遍存在,摩擦補(bǔ)償方法仍是人們所關(guān)心的問(wèn)題,研究人員繼續(xù)對(duì)摩擦進(jìn)行深入研究.如文獻(xiàn)[8]針對(duì)汽車電動(dòng)助力制動(dòng)系統(tǒng)存在的摩擦現(xiàn)象,建立了LuGre摩擦模型來(lái)表征系統(tǒng)的摩擦特性,并采用遺傳算法進(jìn)行摩擦模型的參數(shù)辨識(shí).文獻(xiàn)[9]使用時(shí)延技術(shù)估計(jì)雙框架磁懸浮控制力矩陀螺框架伺服系統(tǒng)存在的摩擦力矩.文獻(xiàn)[10]利用動(dòng)態(tài)增益的自適應(yīng)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器估計(jì)磁性無(wú)桿氣缸的靜摩擦力.

近年來(lái),研究人員對(duì)基于自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)的摩擦建模與控制方法進(jìn)行了一系列研究.文獻(xiàn)[11]采用自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)摩擦力進(jìn)行建模,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建PD(Proportion differentiation)控制器,保證閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差的有界性.文獻(xiàn)[12]提出用模糊狀態(tài)估計(jì)器估計(jì)摩擦模型中的不可測(cè)變量,并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)跟蹤誤差的有界性.文獻(xiàn)[13]針對(duì)多軸伺服系統(tǒng)中不確定摩擦力,采用模糊邏輯系統(tǒng)逼近摩擦力作為控制補(bǔ)償,并引入了全局滑模控制提高系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化和外界干擾的魯棒性.上述文獻(xiàn)均采用傳統(tǒng)一型模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)摩擦進(jìn)行建模估計(jì),然而用二型模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)摩擦補(bǔ)償建模方面很少報(bào)道.

1975年,Zadeh教授首次提出Type-2模糊集合概念[14].在近20年來(lái),Type-2模糊理論得到快速的發(fā)展,國(guó)內(nèi)外研究人員不斷進(jìn)行深入研究豐富其理論基礎(chǔ),逐漸形成一個(gè)新興的研究領(lǐng)域.Type-2模糊集合本質(zhì)是對(duì)一型模糊集合的擴(kuò)展,對(duì)一型模糊的隸屬度再次進(jìn)行模糊化,擴(kuò)大隸屬度空間,可以處理語(yǔ)言規(guī)則不確定性問(wèn)題,能夠綜合同一事物的多個(gè)專家經(jīng)驗(yàn).文獻(xiàn)[15?20]對(duì)Type-2模糊邏輯系統(tǒng)做了更深入詳細(xì)的研究,并形成完整的Type-2模糊邏輯系統(tǒng)理論框架.區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)具有Type-2模糊邏輯系統(tǒng)處理不確定問(wèn)題能力,并且避免Type-2模糊邏輯系統(tǒng)繁瑣的計(jì)算量,所以區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用面比較廣泛[21?22].

本文的主要貢獻(xiàn)有以下幾個(gè)方面:1)提出基于自適應(yīng)區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)摩擦進(jìn)行補(bǔ)償建模;2)在該摩擦補(bǔ)償方法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出魯棒自適應(yīng)控制器,保證系統(tǒng)輸出精度滿足要求,并在不同摩擦環(huán)境下仿真驗(yàn)證該方法的自適應(yīng)性;3)根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性導(dǎo)出自適應(yīng)律,并證明跟蹤誤差的一致最終有界.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)對(duì)傳統(tǒng)摩擦模型進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹.第2節(jié)對(duì)Type-2模糊集合與Type-2模糊邏輯系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)介紹,在此理論基礎(chǔ)上使用自適應(yīng)區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)摩擦進(jìn)行補(bǔ)償建模,并設(shè)計(jì)出魯棒自適應(yīng)控制器,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性導(dǎo)出自適應(yīng)律,保證系統(tǒng)的輸出精度.第3節(jié)在不同的摩擦環(huán)境下進(jìn)行仿真,驗(yàn)證本文所提方法的有效性與自適應(yīng)性,并合理設(shè)計(jì)衰減系數(shù),保證系統(tǒng)跟蹤誤差在適當(dāng)范圍之內(nèi).第4節(jié)是結(jié)論.

1 考慮摩擦特性的不確定機(jī)械系統(tǒng)

參考不確定機(jī)械系統(tǒng)的微分方程如下:

式中,m為運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量,x為物體運(yùn)動(dòng)位移,τ為輸入控制力,Ff為不確定摩擦力.

為保證系統(tǒng)的控制精度,有效方法是降低摩擦對(duì)系統(tǒng)影響.由于摩擦的不確定性和非線性,摩擦建模至今仍然是一個(gè)研究難題.研究人員目前為止提出庫(kù)倫摩擦模型、Stribeck摩擦模型、LuGre摩擦模型、Karnopp摩擦模型等.這里對(duì)常用摩擦模型做簡(jiǎn)要介紹[23?25]:

1)庫(kù)倫摩擦模型

該模型是一種理想干摩擦模型,該模型表達(dá)方式簡(jiǎn)潔,但只局限于非零速度下的摩擦,不能描述相對(duì)速度為零時(shí)的摩擦力情況.摩擦力與作用在摩擦面的法向力成正比,摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)速度v關(guān)系如圖1(a)所示,其數(shù)學(xué)公式為:

式中,Ff是摩擦力,Fc=μ|FN|,μ是摩擦系數(shù),FN為法向力.

2)庫(kù)倫摩擦+靜摩擦模型

物體從靜止加速到一定速度,所受到的最大靜摩擦力大于庫(kù)倫摩擦力,該模型相對(duì)于單一的庫(kù)倫摩擦具有較高準(zhǔn)確度,實(shí)際上并不能真正仿真靜摩擦現(xiàn)象.其摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)速度v關(guān)系如圖1(b)所示,其數(shù)學(xué)公式為:

式中,Fe是外力,Fs為最大靜摩擦,單位為N.

3)庫(kù)倫摩擦+粘滯摩擦模型

隨著流體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展,研究人員推出粘滯摩擦模型,該模型經(jīng)常與庫(kù)倫摩擦配合使用,該模型比較簡(jiǎn)單,但該摩擦模型具有不連續(xù)性,且無(wú)法描述摩擦的動(dòng)態(tài)特性,其控制效果受到一定程度限制.其摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)速度v關(guān)系如圖1(c)所示.

4)靜摩擦+庫(kù)倫摩擦+粘滯摩擦

隨著粘滯摩擦理論的引入,該模型能夠改善系統(tǒng)在零速附近的響應(yīng),但該模型要求準(zhǔn)確的速度信號(hào),且只能描述摩擦靜態(tài)特性.其摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)速度v關(guān)系如圖1(d)所示.

5)Stribeck摩擦模型

該模型在描述摩擦現(xiàn)象時(shí),能夠?qū)㈧o摩擦與粘滯摩擦之間用過(guò)渡曲線連接,更能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)低速時(shí)摩擦特性.該摩擦模型雖然能夠?qū)崿F(xiàn)摩擦的連續(xù)性,但不能描述摩擦力的動(dòng)態(tài)特性.其摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)速度v關(guān)系如圖1(e)所示,其數(shù)學(xué)公式為:

式中,Fv為摩擦力的粘性摩擦系數(shù),單位為Ns/m;vs為Stribeck速度,單位為m/s;δs為經(jīng)驗(yàn)參數(shù).

圖1 摩擦力模型圖Fig.1 Friction model diagram

6)Karnopp摩擦模型

該模型能夠比較準(zhǔn)確描述相對(duì)速度v為零時(shí)系統(tǒng)的摩擦特性,且該模型對(duì)速度檢測(cè)精度要求不高,實(shí)用性比較大.但該模型只能描述摩擦模型靜態(tài)特性,不能描述動(dòng)態(tài)特性.其摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)速度v關(guān)系如圖1(f)所示,其數(shù)學(xué)公式為:

7)LuGre摩擦模型

該模型認(rèn)為剛體接觸面存在彈性的鬃毛,下表面剛體的材料剛度大于上表面.該模型能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)出摩擦的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)特性,可以更加準(zhǔn)確描述摩擦現(xiàn)象,但其參數(shù)不易確定.其數(shù)學(xué)公式為:

式中,z為鬃毛的平均變形,v為速度,σ0,σ1為動(dòng)摩擦參數(shù),Fc,Fs,σ2,vs為靜摩擦參數(shù).

綜上,摩擦模型具有一定研究成果,但仍然存在一些問(wèn)題有待解決:現(xiàn)提出的摩擦模型不能精確地描述摩擦的動(dòng)態(tài)特性和靜態(tài)特性;模型參數(shù)不易辨識(shí),難以準(zhǔn)確描述摩擦力;由于工作環(huán)境的復(fù)雜特性,摩擦模型未考慮其他因素的影響,如溫度、濕度、潤(rùn)滑條件的變化影響.

2 II型模糊邏輯系統(tǒng)與控制器設(shè)計(jì)

式中,x為二型模糊集合的第一變量,u為二型模糊集合的第二變量,Jx為x的第一隸屬度,是x的第二隸屬度.

FOU的邊界由上隸屬度函數(shù)(Upper membership function,UMF)和下隸屬度函數(shù)(Lower membership function,LMF)構(gòu)成.

區(qū)間Type-2模糊集合是Type-2模糊集合的一種特殊情況,其第二隸屬度μ(x,u)都等于1.區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)相對(duì)于一般的Type-2模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)說(shuō)計(jì)算比較簡(jiǎn)便,更加實(shí)用,所以在本文中使用區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)摩擦進(jìn)行建模.

圖2 二型模糊集合的各元素Fig.2 Various elements of Type-2 fuzzy set

以n輸入單輸出的Mamdani區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)為例,輸入為xi∈Xi,輸出為y∈Y,i=1,···,n.模糊邏輯系統(tǒng)由下面“IF-THEN”語(yǔ)句構(gòu)成:

對(duì)于上面的模糊邏輯系統(tǒng),基于KM(Kuhn-Munkes)算法的降型在線計(jì)算過(guò)程如下:

步驟1.計(jì)算每條規(guī)則輸入向量xx的激活區(qū)間:

步驟2.每條規(guī)則輸出變量y的最大隸屬度所對(duì)應(yīng)的值為:

步驟3.基于KM算法降型:

式中,[yl(x),yr(x)]為用KM算法得到的輸出區(qū)間,

步驟4.計(jì)算區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)輸出:

式中,Θ =[Θ1,···,ΘM]T為區(qū)間 Type-2 模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)向量,ξl(x)為區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)的左基函數(shù),ξr(x)為區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)的右基函數(shù),表達(dá)式如下:

系統(tǒng)控制目標(biāo)為系統(tǒng)的輸出位移追蹤目標(biāo)位移xr,假設(shè)真實(shí)摩擦力Ff已知,設(shè)置控制器為:

將式(16)代入式(1)可得跟蹤誤差動(dòng)態(tài)方程為

通過(guò)選擇k1和k2值,使多項(xiàng)式h(s)=s2+k1s+k2所有根都在左半開平面上,滿足Hurwitz條件,跟蹤誤差e趨近于0.

并在控制器(16)中引入補(bǔ)償項(xiàng)τa來(lái)抵消模糊邏輯系統(tǒng)建模誤差,構(gòu)建魯棒自適應(yīng)控制器:

將式(19)代入式(1)中,可得跟蹤誤差動(dòng)態(tài)方程:

設(shè)置最優(yōu)參數(shù)Θ?:

模糊邏輯系統(tǒng)最小逼近誤差可表示為:

跟蹤誤差動(dòng)態(tài)方程(20)可以寫為:

經(jīng)過(guò)進(jìn)一步計(jì)算上式可以簡(jiǎn)化為:

定理1.對(duì)于不確定機(jī)械系統(tǒng)(1),采用魯棒自適應(yīng)控制器為式(19),其中補(bǔ)償項(xiàng)τa為:

二型模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)律為

式中,γ是給定正常數(shù),P[·]投影算子可表示為:

矩陣P=PT>0是Riccati方程的解,Riccati方程表示為:

式中,Q為正定對(duì)稱矩陣,λ>0,α為衰減系數(shù).則可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤誤差有界性.

證明.考慮Lyapunov函數(shù):

將式(24)和式(25)代入上式得到:

由式(28)代入式(31),并經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算之后得到:

由于矩陣Q為正定矩陣,特征值均大于零,則上式可推導(dǎo)為:

式中,δmin(Q)為矩陣Q的最小特征值,ω0為逼近誤差ω的界,即kωk≤ω0.

由標(biāo)準(zhǔn)Lyapunov理論可知,跟蹤誤差e一致最終有界(Uniformly ultimately bounded,UUB).

3 仿真與結(jié)果分析

仿真采用機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)模型為:

步驟1.建立二型模糊邏輯系統(tǒng)

設(shè)置模糊規(guī)則前件隸屬度函數(shù)為:

步驟2.參數(shù)選擇

圖3 二型模糊邏輯系統(tǒng)隸屬度函數(shù)Fig.3 Membership function of Type-2 fuzzy logic system

求得魯棒自適應(yīng)控制器τ為:

求得自適應(yīng)律為:

求得補(bǔ)償τa為:

步驟3.仿真環(huán)境設(shè)置

為驗(yàn)證本文所提建模方法的有效性與自適應(yīng)性,設(shè)置仿真環(huán)境如表1所示.環(huán)境1為Stribeck摩擦模型,不同時(shí)間段參數(shù)發(fā)生變化,但摩擦結(jié)構(gòu)不變;環(huán)境2中摩擦力在不同時(shí)間段不僅摩擦力參數(shù)發(fā)生變化,摩擦結(jié)構(gòu)也發(fā)生變化.

表1 摩擦模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)Table1 Friction model parameters and structures

步驟4.仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證基于區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)摩擦進(jìn)行建模補(bǔ)償?shù)目刂菩Ч?在表1所示的兩種仿真環(huán)境下,對(duì)不確定機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行仿真,系統(tǒng)位移與速度追蹤情況如圖4、圖5所示.

圖4 環(huán)境1系統(tǒng)跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of system output in Environment 1

圖5 環(huán)境2系統(tǒng)跟蹤曲線Fig.5 Tracking curve of system output in Environment 2

圖4和圖5是分別是在兩種摩擦環(huán)境下取不同的衰減系數(shù)時(shí)系統(tǒng)輸出位移與速度追蹤曲線,可以看出本文提出摩擦建模方法和魯棒自適應(yīng)控制器能夠使不確定機(jī)械系統(tǒng)輸出的實(shí)際位移x1(t)與速度x2(t)準(zhǔn)確追蹤目標(biāo)位移sin(t)與目標(biāo)速度cos(t),追蹤誤差在一定范圍內(nèi),且具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性.從數(shù)學(xué)公式(36)與仿真結(jié)果兩方面可以看出系統(tǒng)跟蹤誤差受衰減系數(shù)影響,且成正比關(guān)系,所以在設(shè)置控制器時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選取合適衰減系數(shù).

注1.在實(shí)際工程應(yīng)用中,衰減系數(shù)過(guò)小,會(huì)導(dǎo)致控制變量劇烈變化,對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行器不利.

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)摩擦模型建模不準(zhǔn)確、參數(shù)難以辨識(shí)以及不具有自適應(yīng)特性等問(wèn)題,本文運(yùn)用區(qū)間Type-2模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)不確定機(jī)械系統(tǒng)的摩擦力進(jìn)行補(bǔ)償建模,自適應(yīng)律根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論求出.設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)控制器使系統(tǒng)輸出具有較好追蹤性能,根據(jù)李雅普諾夫理論證明該系統(tǒng)跟蹤誤差一致最終有界.經(jīng)過(guò)數(shù)值仿真證明:本文所提方法能夠適用于不同的摩擦環(huán)境,自適應(yīng)能力較強(qiáng),具有準(zhǔn)確的追蹤性能,且通過(guò)設(shè)置合理的衰減系數(shù),保證系統(tǒng)跟蹤誤差滿足精度要求.