基于區間二型模糊摩擦補償的魯棒自適應控制

羅剛 王永富 柴天佑 張化鍇

摩擦現象在機械動力系統中普遍存在,隨著工業化加快,動力系統的位移精度、速度精度等有更高的要求,例如高精度數控機床、機械手臂、電子產品等行業.由于摩擦力的非線性和不確定性,導致系統產生輸出誤差,降低系統控制精度和工作性能,已經成為控制領域的難題[1?6].

近年來,研究人員主要從兩方面對摩擦補償控制策略進行研究,一方面是基于已知摩擦數學模型,設置控制系統中控制量包含抵消摩擦項;另一方面是在摩擦模型未知的情況下進行補償建模控制.摩擦數學模型是根據摩擦機理的研究和實驗建立具體表達方式,但是這種數學模型只是真實摩擦力的近似表達式,并不完全準確;另外系統實際運行的工作環境比較復雜,摩擦模型自適應特性較差、也會導致模型的不精確.因此不依賴摩擦模型的補償方法受到廣泛關注.文獻[7]分別從摩擦模型、摩擦系統分析工具、摩擦補償控制方法等方面進行詳細闡述.從文獻[7]可以看出摩擦研究在各個領域取得重大成果.但是,近20年來,工業控制的精度要求越來越高,不確定性摩擦在機械系統中普遍存在,摩擦補償方法仍是人們所關心的問題,研究人員繼續對摩擦進行深入研究.如文獻[8]針對汽車電動助力制動系統存在的摩擦現象,建立了LuGre摩擦模型來表征系統的摩擦特性,并采用遺傳算法進行摩擦模型的參數辨識.文獻[9]使用時延技術估計雙框架磁懸浮控制力矩陀螺框架伺服系統存在的摩擦力矩.文獻[10]利用動態增益的自適應擴展狀態觀測器估計磁性無桿氣缸的靜摩擦力.

近年來,研究人員對基于自適應模糊邏輯系統的摩擦建模與控制方法進行了一系列研究.文獻[11]采用自適應模糊邏輯系統對動力系統摩擦力進行建模,并在此基礎上構建PD(Proportion differentiation)控制器,保證閉環系統跟蹤誤差的有界性.文獻[12]提出用模糊狀態估計器估計摩擦模型中的不可測變量,并基于李雅普諾夫穩定性理論證明系統跟蹤誤差的有界性.文獻[13]針對多軸伺服系統中不確定摩擦力,采用模糊邏輯系統逼近摩擦力作為控制補償,并引入了全局滑模控制提高系統對參數變化和外界干擾的魯棒性.上述文獻均采用傳統一型模糊邏輯系統對摩擦進行建模估計,然而用二型模糊邏輯系統對摩擦補償建模方面很少報道.

1975年,Zadeh教授首次提出Type-2模糊集合概念[14].在近20年來,Type-2模糊理論得到快速的發展,國內外研究人員不斷進行深入研究豐富其理論基礎,逐漸形成一個新興的研究領域.Type-2模糊集合本質是對一型模糊集合的擴展,對一型模糊的隸屬度再次進行模糊化,擴大隸屬度空間,可以處理語言規則不確定性問題,能夠綜合同一事物的多個專家經驗.文獻[15?20]對Type-2模糊邏輯系統做了更深入詳細的研究,并形成完整的Type-2模糊邏輯系統理論框架.區間Type-2模糊邏輯系統具有Type-2模糊邏輯系統處理不確定問題能力,并且避免Type-2模糊邏輯系統繁瑣的計算量,所以區間Type-2模糊邏輯系統的實際應用面比較廣泛[21?22].

本文的主要貢獻有以下幾個方面:1)提出基于自適應區間Type-2模糊邏輯系統對摩擦進行補償建模;2)在該摩擦補償方法的基礎上設計出魯棒自適應控制器,保證系統輸出精度滿足要求,并在不同摩擦環境下仿真驗證該方法的自適應性;3)根據Lyapunov穩定性導出自適應律,并證明跟蹤誤差的一致最終有界.

本文結構安排如下:第1節對傳統摩擦模型進行了簡要介紹.第2節對Type-2模糊集合與Type-2模糊邏輯系統進行詳細介紹,在此理論基礎上使用自適應區間Type-2模糊邏輯系統對摩擦進行補償建模,并設計出魯棒自適應控制器,根據Lyapunov穩定性導出自適應律,保證系統的輸出精度.第3節在不同的摩擦環境下進行仿真,驗證本文所提方法的有效性與自適應性,并合理設計衰減系數,保證系統跟蹤誤差在適當范圍之內.第4節是結論.

1 考慮摩擦特性的不確定機械系統

參考不確定機械系統的微分方程如下:

式中,m為運動物體質量,x為物體運動位移,τ為輸入控制力,Ff為不確定摩擦力.

為保證系統的控制精度,有效方法是降低摩擦對系統影響.由于摩擦的不確定性和非線性,摩擦建模至今仍然是一個研究難題.研究人員目前為止提出庫倫摩擦模型、Stribeck摩擦模型、LuGre摩擦模型、Karnopp摩擦模型等.這里對常用摩擦模型做簡要介紹[23?25]:

1)庫倫摩擦模型

該模型是一種理想干摩擦模型,該模型表達方式簡潔,但只局限于非零速度下的摩擦,不能描述相對速度為零時的摩擦力情況.摩擦力與作用在摩擦面的法向力成正比,摩擦力與相對滑動速度v關系如圖1(a)所示,其數學公式為:

式中,Ff是摩擦力,Fc=μ|FN|,μ是摩擦系數,FN為法向力.

2)庫倫摩擦+靜摩擦模型

物體從靜止加速到一定速度,所受到的最大靜摩擦力大于庫倫摩擦力,該模型相對于單一的庫倫摩擦具有較高準確度,實際上并不能真正仿真靜摩擦現象.其摩擦力與相對滑動速度v關系如圖1(b)所示,其數學公式為:

式中,Fe是外力,Fs為最大靜摩擦,單位為N.

3)庫倫摩擦+粘滯摩擦模型

隨著流體動力學的發展,研究人員推出粘滯摩擦模型,該模型經常與庫倫摩擦配合使用,該模型比較簡單,但該摩擦模型具有不連續性,且無法描述摩擦的動態特性,其控制效果受到一定程度限制.其摩擦力與相對滑動速度v關系如圖1(c)所示.

4)靜摩擦+庫倫摩擦+粘滯摩擦

隨著粘滯摩擦理論的引入,該模型能夠改善系統在零速附近的響應,但該模型要求準確的速度信號,且只能描述摩擦靜態特性.其摩擦力與相對滑動速度v關系如圖1(d)所示.

5)Stribeck摩擦模型

該模型在描述摩擦現象時,能夠將靜摩擦與粘滯摩擦之間用過渡曲線連接,更能準確描述系統低速時摩擦特性.該摩擦模型雖然能夠實現摩擦的連續性,但不能描述摩擦力的動態特性.其摩擦力與相對滑動速度v關系如圖1(e)所示,其數學公式為:

式中,Fv為摩擦力的粘性摩擦系數,單位為Ns/m;vs為Stribeck速度,單位為m/s;δs為經驗參數.

圖1 摩擦力模型圖Fig.1 Friction model diagram

6)Karnopp摩擦模型

該模型能夠比較準確描述相對速度v為零時系統的摩擦特性,且該模型對速度檢測精度要求不高,實用性比較大.但該模型只能描述摩擦模型靜態特性,不能描述動態特性.其摩擦力與相對滑動速度v關系如圖1(f)所示,其數學公式為:

7)LuGre摩擦模型

該模型認為剛體接觸面存在彈性的鬃毛,下表面剛體的材料剛度大于上表面.該模型能夠準確體現出摩擦的動態特性和靜態特性,可以更加準確描述摩擦現象,但其參數不易確定.其數學公式為:

式中,z為鬃毛的平均變形,v為速度,σ0,σ1為動摩擦參數,Fc,Fs,σ2,vs為靜摩擦參數.

綜上,摩擦模型具有一定研究成果,但仍然存在一些問題有待解決:現提出的摩擦模型不能精確地描述摩擦的動態特性和靜態特性;模型參數不易辨識,難以準確描述摩擦力;由于工作環境的復雜特性,摩擦模型未考慮其他因素的影響,如溫度、濕度、潤滑條件的變化影響.

2 II型模糊邏輯系統與控制器設計

式中,x為二型模糊集合的第一變量,u為二型模糊集合的第二變量,Jx為x的第一隸屬度,是x的第二隸屬度.

FOU的邊界由上隸屬度函數(Upper membership function,UMF)和下隸屬度函數(Lower membership function,LMF)構成.

區間Type-2模糊集合是Type-2模糊集合的一種特殊情況,其第二隸屬度μ(x,u)都等于1.區間Type-2模糊邏輯系統相對于一般的Type-2模糊邏輯系統來說計算比較簡便,更加實用,所以在本文中使用區間Type-2模糊邏輯系統對摩擦進行建模.

圖2 二型模糊集合的各元素Fig.2 Various elements of Type-2 fuzzy set

以n輸入單輸出的Mamdani區間Type-2模糊邏輯系統為例,輸入為xi∈Xi,輸出為y∈Y,i=1,···,n.模糊邏輯系統由下面“IF-THEN”語句構成:

對于上面的模糊邏輯系統,基于KM(Kuhn-Munkes)算法的降型在線計算過程如下:

步驟1.計算每條規則輸入向量xx的激活區間:

步驟2.每條規則輸出變量y的最大隸屬度所對應的值為:

步驟3.基于KM算法降型:

式中,[yl(x),yr(x)]為用KM算法得到的輸出區間,

步驟4.計算區間Type-2模糊邏輯系統輸出:

式中,Θ =[Θ1,···,ΘM]T為區間 Type-2 模糊邏輯系統的自適應參數向量,ξl(x)為區間Type-2模糊邏輯系統的左基函數,ξr(x)為區間Type-2模糊邏輯系統的右基函數,表達式如下:

系統控制目標為系統的輸出位移追蹤目標位移xr,假設真實摩擦力Ff已知,設置控制器為:

將式(16)代入式(1)可得跟蹤誤差動態方程為

通過選擇k1和k2值,使多項式h(s)=s2+k1s+k2所有根都在左半開平面上,滿足Hurwitz條件,跟蹤誤差e趨近于0.

并在控制器(16)中引入補償項τa來抵消模糊邏輯系統建模誤差,構建魯棒自適應控制器:

將式(19)代入式(1)中,可得跟蹤誤差動態方程:

設置最優參數Θ?:

模糊邏輯系統最小逼近誤差可表示為:

跟蹤誤差動態方程(20)可以寫為:

經過進一步計算上式可以簡化為:

定理1.對于不確定機械系統(1),采用魯棒自適應控制器為式(19),其中補償項τa為:

二型模糊邏輯系統的自適應律為

式中,γ是給定正常數,P[·]投影算子可表示為:

矩陣P=PT>0是Riccati方程的解,Riccati方程表示為:

式中,Q為正定對稱矩陣,λ>0,α為衰減系數.則可以保證系統的穩定性和跟蹤誤差有界性.

證明.考慮Lyapunov函數:

將式(24)和式(25)代入上式得到:

由式(28)代入式(31),并經過一系列計算之后得到:

由于矩陣Q為正定矩陣,特征值均大于零,則上式可推導為:

式中,δmin(Q)為矩陣Q的最小特征值,ω0為逼近誤差ω的界,即kωk≤ω0.

由標準Lyapunov理論可知,跟蹤誤差e一致最終有界(Uniformly ultimately bounded,UUB).

3 仿真與結果分析

仿真采用機械動力系統模型為:

步驟1.建立二型模糊邏輯系統

設置模糊規則前件隸屬度函數為:

步驟2.參數選擇

圖3 二型模糊邏輯系統隸屬度函數Fig.3 Membership function of Type-2 fuzzy logic system

求得魯棒自適應控制器τ為:

求得自適應律為:

求得補償τa為:

步驟3.仿真環境設置

為驗證本文所提建模方法的有效性與自適應性,設置仿真環境如表1所示.環境1為Stribeck摩擦模型,不同時間段參數發生變化,但摩擦結構不變;環境2中摩擦力在不同時間段不僅摩擦力參數發生變化,摩擦結構也發生變化.

表1 摩擦模型參數與結構Table1 Friction model parameters and structures

步驟4.仿真結果與分析

為驗證基于區間Type-2模糊邏輯系統對摩擦進行建模補償的控制效果,在表1所示的兩種仿真環境下,對不確定機械系統進行仿真,系統位移與速度追蹤情況如圖4、圖5所示.

圖4 環境1系統跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of system output in Environment 1

圖5 環境2系統跟蹤曲線Fig.5 Tracking curve of system output in Environment 2

圖4和圖5是分別是在兩種摩擦環境下取不同的衰減系數時系統輸出位移與速度追蹤曲線,可以看出本文提出摩擦建模方法和魯棒自適應控制器能夠使不確定機械系統輸出的實際位移x1(t)與速度x2(t)準確追蹤目標位移sin(t)與目標速度cos(t),追蹤誤差在一定范圍內,且具有較強的自適應性.從數學公式(36)與仿真結果兩方面可以看出系統跟蹤誤差受衰減系數影響,且成正比關系,所以在設置控制器時應根據實際情況選取合適衰減系數.

注1.在實際工程應用中,衰減系數過小,會導致控制變量劇烈變化,對系統執行器不利.

4 結論

針對傳統摩擦模型建模不準確、參數難以辨識以及不具有自適應特性等問題,本文運用區間Type-2模糊邏輯系統對不確定機械系統的摩擦力進行補償建模,自適應律根據李雅普諾夫穩定性理論求出.設計魯棒自適應控制器使系統輸出具有較好追蹤性能,根據李雅普諾夫理論證明該系統跟蹤誤差一致最終有界.經過數值仿真證明:本文所提方法能夠適用于不同的摩擦環境,自適應能力較強,具有準確的追蹤性能,且通過設置合理的衰減系數,保證系統跟蹤誤差滿足精度要求.