歸一化互信息量最大化導向的自動閾值選擇方法

鄒耀斌 雷幫軍 臧兆祥 王俊英 胡澤海 董方敏

圖像閾值分割由于具有簡潔性、直觀性和有效性等特點而被持續關注[1?5].閾值分割的基本原理是將圖像中每個像素的灰度值與選擇的閾值進行比較,然后確定像素是屬于前景還是背景.選擇閾值由此成為閾值分割的關鍵[6],而讓所選閾值盡可能地接近最優閾值則是閾值分割的核心目標[7].

在閾值的自動選擇方面,一類思想是以概率統計學和/或信息論為基礎,利用灰度直方圖提供的原始信息和/或派生信息計算閾值.根據灰度直方圖的維度以及構建灰度直方圖過程中所涉及到的圖像空間,可以將灰度直方圖分為全局一維直方圖,局部一維直方圖,全局聯合直方圖三大類.

全局一維灰度直方圖通過對整幅圖像的灰度值分布進行統計而建立.利用全局一維灰度直方圖的典型方法包括Otsu方法[8]、最小誤差法[9]、最大香農熵法[10]、最小交叉熵法[11]以及基于非香農熵的方法[12?15].這些方法雖然適合分割灰度直方圖為雙峰模式且峰谷特征明顯的圖像,但是容易誤分割灰度直方圖為單峰模式的圖像.一些新近提出的方法[16?21]嘗試在全局一維灰度直方圖范圍內對相關方法進行改進,但是它們面臨著一個共同的難題:對于全局一維灰度直方圖相同但是圖像內容不同的兩幅圖像,它們無法計算出不同的閾值.

局部一維灰度直方圖通過對圖像特定區域的灰度值分布進行統計而建立.典型的特定區域是前景和背景之間的過渡區[22?25],其一維灰度直方圖具有近似對稱分布的傾向[7].這種傾向性雖然降低了局部一維灰度直方圖退化為單峰模式的風險,但同時也弱化了直方圖的峰谷特征.另外,為了獲取過渡區的局部一維灰度直方圖信息,需要先提取出合理的過渡區,這會引發如何自動評估未知特征參數的新難題.

全局聯合灰度直方圖通過對原始圖像和其派生圖像的灰度值進行聯合分布統計而建立.派生圖像可以是原始圖像的均值濾波或者中值濾波結果[26?33],也可以是原始圖像的閾值化分割結果[34].限于計算復雜度,目前全局聯合灰度直方圖的維度主要是二維[26?30]和三維[31?33].在利用全局聯合灰度直方圖進行閾值分割方面,由盧振泰等[34]提出的結合k均值和互信息量(Combiningk-means and mutual information,CKMI)的方法頗具特色.然而,CKMI方法傾向于選擇這樣的二值圖像:值為0的像素個數和值為1的像素個數的差盡量小(具體分析見第1節).這種傾向性使得CKMI方法很容易誤分割前景和背景大小不平衡的圖像.

上述方法大多限于分割具有近似雙峰模式或者近似單峰模式直方圖的圖像,并且相對而言,它們一般更適合于處理前景和背景的灰度分布可以用正態分布近似逼近的情形.然而,灰度直方圖所呈現的模式是復雜多變的.除了雙峰和單峰模式外,還有無峰和多峰模式.另外,構成每種直方圖模式的基本分布又有多種可能,除了正態分布外,還有常見的極值分布、瑞利分布、貝塔分布和均勻分布等.當前景或背景的灰度分布呈現為極值分布、瑞利分布、貝塔分布、均勻分布或者它們的混合分布時,如何自動選擇出合理的分割閾值是個新難題.

為了在統一框架內處理上述不同灰度分布情形下的閾值選擇問題,提出了一種歸一化互信息量最大化導向(Maximizing normalized mutual information,MNMI)的自動閾值選擇方法.MNMI方法比較不同閾值分割圖像所對應的輪廓圖像和一幅多尺度梯度乘圖像的歸一化互信息量,并以最大的歸一化互信息量所對應的閾值作為最終分割閾值.實驗結果表明,當前景或背景的灰度分布可以用正態分布、極值分布、瑞利分布、貝塔分布、均勻分布或者它們的混合分布逼近時,MNMI方法計算出的閾值比4個新近開發的方法所得閾值在總體上更優.

剩余內容安排如下:第1節先簡介CKMI方法,然后剖析該方法的主要缺陷;第2節提出MNMI方法,并從理論上闡述了該方法所具有的優勢;第3節討論MNMI方法和5個被比較方法的實驗結果;第4節給出結論.

1 CKMI方法及其缺陷

1.1 計算閾值的目標函數

CKMI方法主要包括兩個步驟:第一步用k均值算法計算出一個初始閾值tinitial,第二步是在[tinitial?δ,tinitial+δ]范圍內,以最大化原始圖像和二值圖像之間的互信息量為目標,搜索一個更優的最終閾值tfinal.盧振泰等[34]建議δ=10.

記原始圖像為X,使用一個閾值t∈[tinitial?δ,tinitial+δ]閾值化X,并記閾值化所得二值圖像為Yt.CKMI方法的第二步使用如下目標函數計算最終閾值tfinal:

其中,I(X;Yt)表示計算X和Yt之間的互信息量.對于兩幅具有相同大小的圖像X和Yt,可以用式(2)計算它們之間的互信息量[34]:

其中,H(X)和H(Yt)分別是X和Yt的香農熵,而H(X,Yt)是X和Yt的聯合香農熵.

1.2 目標函數的化簡

下面將證明CKMI方法的目標函數,即式(1),可以被化簡為:

證明.由于二值圖像Yt的像素值為0或1,則圖像X和Yt的聯合灰度分布PX,Yt(x,y)與圖像X的灰度分布PX(x)有如下特殊關系:1)當x

1.3 計算閾值時的缺陷

在CKMI方法中,第一步采用了k均值算法.如果k均值算法估計的初始閾值tinitial嚴重偏離最優閾值,以至于一個小的δ值無法讓區間[tinitial?δ,tinitial+δ]包含最優閾值.此時CKMI方法的第二步將無法在區間[tinitial?δ,tinitial+δ]內搜索到最優閾值.

退一步講,假設擴大δ取值使得區間[tinitial?δ,tinitial+δ]包含最優閾值,那么CKMI方法將依賴式(1)計算最終閾值tfinal.由式(1)到式(3)的化簡過程,可知這等效于使用式(3)計算最終閾值tfinal.根據香農熵的定義,式(3)中的H(Yt)可以展開為:

其中,p表示Yt中像素值為0的概率,而1?p則是Yt中像素值為1的概率.H(p)和p的關系是:1)0

情形1.如果區間[tinitial?δ,tinitial+δ]內的任意閾值t閾值化原始圖像X,所得二值圖像Yt對應的p值都小于0.5,則由于0

情形2.如果區間[tinitial?δ,tinitial+δ]內的任意閾值t閾值化原始圖像X,所得二值圖像Yt對應的p值都大于0.5,則由于0.5

情形3.如果區間[tinitial?δ,tinitial+δ]內的任意閾值t閾值化原始圖像X,所得二值圖像Yt對應的p值部分小于0.5,部分大于0.5,則式(3)將使得最終分割閾值tfinal具有這樣的特性:在tfinal閾值化原始圖像所得二值圖像Ytfinal中,值為0的像素個數和值為1的像素個數的差盡量小.

對于情形1,如果最優閾值小于tinitial,那么tinitial+δ會誤分割更多像素.對于情形2,如果最優閾值大于tinitial,那么tinitial?δ也會誤分割更多像素.退一步講,假設情形1(或情形2)所得閾值tinitial+δ(或tinitial?δ)比tinitial更優或者就是最優閾值,則會引發一個新問題:對不同的圖像如何自動計算出不同的δ.沒有證據表明這個問題會比自動計算閾值本身更容易.盧振泰等[34]建議δ=10,除了減少計算代價的解釋外,沒有關于δ=10的其他深入分析.此外,在上述3種情形下,CKMI方法將不管前景像素和背景像素的實際比例,只是去力求:在最終分割結果圖像中,值為0和值為1的像素個數盡可能相等.這種傾向性使得CKMI方法只適合處理前景和背景大小較為均衡的圖像.一旦前景和背景的大小失衡,CKMI方法將產生明顯的誤分割,這點也被后面的實驗所證實.

2 提出的MNMI方法

2.1 計算閾值的目標函數

MNMI方法采用如下目標函數計算最終閾值tfinal:

式(6)拓展了t的取值范圍,由CKMI方法中的[tinitial?δ,tinitial+δ]拓展為[tmin,tmax],其中,tmin和tmax分別表示原始圖像的最小灰度值和最大灰度值.這種拓展使得MNMI方法:1)不需要k均值算法去估計初始閾值tinitial;2)不需要考慮額外的參數δ;3)避免了CKMI方法中區間[tinitial?δ,tinitial+δ]不包含最優閾值的可能性.

式(6)中的MX表示對原始圖像X進行多尺度梯度乘變換后所得圖像(圖1(b)和(e)分別給出了X和MX的直觀示意).MX在像素位置(r,w)處的值可以按如下式(7)計算[7]:

圖1 MNMI方法所涉及的關鍵概念和步驟的圖示((a)原始圖像X 的灰度直方圖;(b)原始圖像X;(c)使用t閾值化原始圖像X所得的二值圖像Yt;(d)對原始圖像X進行多尺度梯度乘變換后所得圖像MX的灰度直方圖;(e)圖像MX;(f)從二值圖像Yt中提取輪廓后所得輪廓圖像CYt.注意,為了能更清楚地顯示灰度區間[0,255]內灰度值出現的頻率,(d)中灰度直方圖在頻率為80處進行了截斷.)Fig.1 Graphic illustration of crucial concepts and steps in MNMI method((a)Gray level histogram of original image X;(b)original image X;(c)binary image Ytobtained by thresholding original image X with a gray level t;(d)gray level histogram of image MXproduced by applying a multiscale gradient multiplication transformation to original image X;(e)image MX;(f)contour image CYtextracted from binary image Yt.The gray level histogram in(d)is truncated at the frequency 80 for more clearly showing the frequency of gray level in the range[0,255].)

式(6)中的CYt表示二值圖像Yt對應的輪廓圖像(圖1(c)和(f)分別給出了Yt和CYt的直觀示意).CYt可如下獲得:首先讓CYt等于Yt,然后對Yt中每個值為1的像素進行判斷,如果該像素的四鄰域均為1,則設置該像素在圖像CYt中對應位置的像素值為0.

式(6)中的Inormal(MX;CYt)表示計算圖像MX和圖像CYt的歸一化互信息量.由于MX和CYt具有相同大小,可以應用式(8)計算兩者之間的歸一化互信息量[35]:

式中,H(MX)和H(CYt)分別是MX和CYt的香農熵,而H(MX,CYt)是MX和CYt的聯合香農熵.

2.2 MNMI方法所具優勢的理論分析

其次,MNMI方法將原始圖像X變換成圖像MX,實際上是實施了直方圖規范化:將圖像X的直方圖規范化為圖像MX的單峰長拖尾直方圖.如圖1(d)所示,圖像MX的灰度直方圖的峰起始于灰度值0處,尾結束于灰度值255處.這種直方圖規范化有利于MNMI方法以統一的框架處理具有不同直方圖模式的原始圖像X.圖像MX的單峰長拖尾直方圖的形成源于邊緣信號和噪聲對FDoG濾波器不同的響應特點.隨著濾波尺度的增加,邊緣信號的響應值在總體上得到更好的保持,而噪聲的響應值則更快地衰減.當不同濾波尺度下的響應值相乘時,絕大部分噪聲的總響應值被往0處抑制,強弱不同的邊緣信號的總響應值有大有小,分布在[0,255]區間.這些綜合因素使得圖像MX的灰度直方圖具有單峰長拖尾特征.

2.3 算法描述

為了更清晰地說明如何利用式(6)～(8)計算最終閾值tfinal,這里進一步給出了實現MNMI方法的8個步驟.

算法1.算法名稱:MNMI

輸入.原始灰度圖像X

輸出.閾值tfinal及閾值分割結果圖像Ytfinal

步驟1.對輸入的原始圖像X,分別計算出n個濾波尺度 (即σ1,σ2,···,σn) 下的 FDoG 濾波結果圖像,并將這n個濾波結果圖像相乘產生出規范圖像MX(注:FDoG濾波系數可以預先生成并按規律存儲在一個MAT文件中,做FDoG濾波時直接訪問預先載入的MAT文件即可快速獲得相應的濾波系數).

步驟2.統計規范圖像MX的離散灰度分布,并利用該分布計算出MX的香農熵H(MX)(注:香農熵H(MX)只需計算一次).

步驟 3.遍歷原始圖像X的灰度區間[tmin,tmax],對于該區間內的每個灰度值t,如果它在原始圖像X中出現過,則按步驟4到步驟7順序執行.執行時,用一個變量Ifinal記錄當前最大的歸一化互信息量,初始時令Ifinal=0;用一個變量tfinal記錄當前最大的歸一化互信息量對應的灰度值,初始時令tfinal=tmin.

步驟4.對于灰度值t,使用如下規則產生一幅對應的二值圖像Yt:對原始圖像X的每個像素進行判斷,如果X在某個像素位置(r,w)處的灰度值大于或等于t,則將Yt(r,w)設置為1,否則將Yt(r,w)設置為0.

步驟 8.輸出最終的分割閾值tfinal,同時按步驟4的規則產生一幅相應的二值圖像Ytfinal并輸出.

3 實驗結果與討論

3.1 實驗環境、定量評估指標、參與比較的方法

實驗環境配置如下: Intel Core i3-2350M 2.3GHz CPU,4GB DDR2內存,Windows 7操作系統,Matlab 2009a編程平臺.測試圖像集包含具有不同灰度分布模式的9幅合成圖像和59幅真實世界圖像,每幅測試圖像的分割參考圖像借助于Adobe Photoshop CS軟件手工產生(請訪問https://pan.baidu.com/s/1bo9QNH9下載測試圖像、分割參考圖像和分割參考圖像的制作說明).

采用誤分類率 (Misclassification error,ME)[3,7]來定量評估分割方法的分割精度.ME是定量評估分割精度的一個常用指標,反映了分割結果圖像中背景像素被誤分為前景像素,以及前景像素被誤分為背景像素的情況,其計算公式為:

其中,Fg和Bg分別表示分割參考圖像中的前景和背景,而Ft和Bt分別表示使用t閾值化原始圖像所得二值圖像中的前景和背景.符號T表示取交集運算,符號|·|表示計算元素的個數.當閾值化所得二值圖像和分割參考圖像相同時,ME等于0%;當閾值化所得二值圖像和分割參考圖像完全相反時,ME等于100%.

提出的MNMI方法和交互式閾值(Interactive thresholding,IT)方法[36]、廣義熵閾值(Generalized entropy thresholding,GET)方法[15]、迭代三類閾值(Iterative triclass thresholding,ITT)方法[19]、過渡區閾值(Transition region thresholding,TRT)方法[7]以及CKMI方法[34]進行了比較.值得注意的是,IT方法人工交互式選擇一個閾值,該閾值對應的二值圖像具有最小的ME值.因此,IT方法可以作為其他比較方法在分割精度方面的參考.

3.2 在合成圖像上的比較實驗

9幅代表性合成圖像被用于檢驗6個分割方法對不同直方圖模式的適應能力.在這9幅圖像中,4幅圖像的灰度直方圖呈現出雙峰特征(見圖2),3幅圖像的灰度直方圖呈現出單峰特征(見圖3),1幅圖像的灰度直方圖呈現出無峰特征(見圖4),1幅圖像的灰度直方圖呈現出復雜的多峰特征(見圖5).

在灰度直方圖呈現出雙峰特征的4幅圖像中,各有1幅圖像的前景或背景的灰度分布呈現為正態分布(見圖2(a))、極值分布(見圖2(b))、瑞利分布(見圖2(c)),以及貝塔分布(見圖2(d)).表1顯示:1)對雙峰正態分布情況,GET和CKMI方法的分割結果比其他4種方法差.特別是GET方法,其計算出的閾值和IT方法選擇的閾值相差31個灰度級.2)對雙峰極值分布、瑞利分布和貝塔分布三種情況,GET、ITT、TRT和CKMI方法的分割精度明顯下降,它們各自計算出的閾值和IT方法選擇的閾值的平均絕對偏差分別達到39,69,40和73個灰度級,反映在ME值方面,GET、ITT、TRT和CKMI方法在這三種情況下的平均ME值分別達到了16.22%,33.48%,13.03%和34.07%.3)對雙峰正態分布、極值分布和貝塔分布三種情況,MNMI方法和IT方法的分割結果完全一致.在雙峰瑞利分布情況下,MNMI方法和IT方法所得閾值僅相差1個灰度級.

對灰度直方圖呈現為單峰特征的情況,所合成的3幅圖像的前景或背景的灰度分布分別呈現為正態分布(見圖3(a))、極值分布(見圖3(b))以及瑞利分布(見圖3(c)).由于前景在整幅圖像中所占比例僅為1%,因此圖像的整體直方圖呈現為單峰特征.表2顯示:1)GET和TRT方法僅在單峰正態分布情況下獲得較好的分割結果,在單峰極值分布和瑞利分布情況下誤分割都較嚴重.2)在單峰的三種情況下,ITT和CKMI方法的ME值都超過35%,誤分割非常嚴重.3)對單峰的三種情況,MNMI方法計算出的閾值始終和IT方法選擇的閾值保持一致,因此它們的ME值也保持一致.

圖2 灰度直方圖呈現出雙峰特征的4幅合成圖像.每幅子圖的左邊顯示了合成圖像,右邊顯示了對應的灰度直方圖,黑色曲線顯示了提出的MNMI方法計算閾值的目標函數曲線,虛線及旁邊的數字標示了MNMI方法計算出的閾值(下同)((a)正態分布情形;(b)極值分布情形;(c)瑞利分布情形;(d)貝塔分布情形)Fig.2 4 synthetic images with bimodal gray level histogram.In each sub- figure,a synthetic image is shown on the left;on the right,the gray level histogram is shown,the objective function of MNMI method is illustrated with a black curve,and the threshold obtained by MNMI method is indicated with a dashed line and a number(the same below)((a)Normal distribution,(b)Extreme value distribution,(c)Rayleigh distribution,(d)Beta distribution)

圖3 灰度直方圖呈現出單峰特征的3幅合成圖像((a)正態分布情形;(b)極值分布情形;(c)瑞利分布情形)Fig.3 3 synthetic images with unimodal gray level histogram((a)Normal distribution,(b)extreme value distribution,(c)Rayleigh distribution)

圖4 灰度直方圖呈現出無峰特征的合成圖像Fig.4 A synthetic image with a uniform distribution of gray level

表1 6個閾值分割方法在灰度直方圖呈現出雙峰特征的4幅合成圖像上的閾值t和ME值Table 1 Threshold values t and ME values of 6 thresholding methods on 4 synthetic images with bimodal gray level histogram

圖5 灰度直方圖呈現出多峰特征的合成圖像(灰度直方圖的灰度區間[0,50]由瑞利分布和均勻分布組合而成,區間[51,100]為均勻分布,區間[101,150]由極值分布和均勻分布組合而成,區間[151,200]由貝塔分布和正態分布組合而成,區間[201,255]為正態分布)Fig.5 A synthetic image with multimodal gray level histogram(The gray level histogram in the range[0,50]is combined by a Rayleigh distribution and a uniform distribution,[51,100]by a uniform distribution,[101,150]by an extreme value distribution and a uniform distribution,[151,200]by a beta distribution and a normal distribution,and[201,255]by a normal distribution.)

表2 6個閾值分割方法在灰度直方圖呈現出單峰特征的3幅合成圖像上的閾值t和ME值Table 2 Threshold values t and ME values of 6 thresholding methods on 3 synthetic images with unimodal gray level histogram

表3 6個閾值分割方法在灰度直方圖分別呈現出無峰特征和多峰特征的合成圖像上的閾值t和ME值Table 3 Threshold values t and ME values of 6 thresholding methods on synthetic images with uniform gray level histogram and multimodal one

灰度直方圖呈現為無峰特征的測試圖像是通過添加均勻分布的噪聲而合成的(見圖4).因為無法利用雙峰直方圖的峰谷特征或者單峰直方圖的凹陷特征,閾值化此類合成圖像比閾值化前面兩類合成圖像更有挑戰性.表3第2列數據顯示:1)GET、ITT、TRT和CKMI方法計算出的閾值離最優閾值230分別差50,104,56和102個灰度級,結果這4種方法均存在較為嚴重的誤分割.2)MNMI方法依然能精確地計算出最優閾值230,獲得和IT方法一樣的分割結果.

鑒于真實世界圖像的灰度直方圖經常呈現為多峰特征,我們也合成了一幅具有多峰特征的測試圖像(見圖5).注意這幅圖像的前景只形成了一個峰,其余峰都是由背景所形成.因此,分割這幅圖像的難度并不亞于分割具有無峰直方圖特征的圖像.表3第3列數據顯示:1)MNMI方法和IT方法計算出相等的閾值204,兩者輸出一樣的分割結果.2)但是GET、ITT、TRT和CKMI方法的誤分割嚴重,它們對應的ME值分別高達17.75%,55.60%,27.89%和55.90%,它們計算出的閾值和最優閾值204分別差24,94,50和96個灰度級.

3.3 在真實世界圖像上的比較實驗

59幅真實世界圖像被用于進一步檢驗6個分割方法對不同直方圖模式的適應能力.這些測試圖像的灰度直方圖可用正態分布、極值分布、瑞利分布、貝塔分布和均勻分布中的若干分布的混合進行逼近.在這59幅圖像中,編號1到19的圖像的灰度直方圖呈現出雙峰特征,編號20到36的圖像的灰度直方圖呈現出單峰特征,編號37到40的圖像的灰度直方圖呈現出無峰特征,編號41到59的圖像的灰度直方圖呈現出多峰特征(大于等于3峰).

圖6顯示了6種方法在59幅測試圖像上分割結果的量化比較.從該圖可以觀察到:1)對具有雙峰特征、單峰特征、無峰特征或者多峰特征的圖像,IT方法和MNMI方法對應的ME均值都小于0.6%;而其他方法,除了TRT在單峰特征情況外,每種方法在不同灰度直方圖特征情況下對應的ME均值都大于4.3%;2)在灰度直方圖呈現為無峰特征情況下,GET、ITT、TRT和CKMI 4種方法的誤分割都很嚴重,各自的ME均值都超過了15%;3)ITT和CKMI方法在單峰和多峰特征情況下,誤分割情況也很嚴重,各自的ME均值都超過了16%,并且相對而言,CKMI方法的誤分割更嚴重;4)僅就GET、ITT、TRT和CKMI 4種方法自身比較而言,GET方法和ITT方法分別在多峰和雙峰直方圖特征情況下略有優勢,而TRT方法則更適合分割具有單峰直方圖特征的圖像.

IT方法以最小化ME值為標準人工交互式選擇閾值,因此它選擇的閾值是最小化ME值意義下的最優閾值.這樣,通過比較其他方法所得閾值和IT方法所選閾值之間的差異,可以衡量其他方法在閾值計算方面的偏離程度.從圖7可以觀察到,MNMI、GET、ITT、TRT、CKMI 5種方法和IT方法的閾值差分別分布在區間[?9,9],[?60,76],[?93,85],[?53,78]和 [?105,85]內.這里,每個區間的上下限反映了相應方法在閾值計算方面最大可能的偏離度(針對此59幅測試圖像而言).進一步,如果將大于0的閾值差稱為正向閾值差,將小于0的閾值差稱為反向閾值差,那么可以計算出每種方法對應的正向閾值差的均值和反向閾值差的均值,這兩個均值可以用于衡量每種方法在閾值計算方面的平均偏離度.MNMI、GET、ITT、TRT和CKMI 5種方法對應的平均偏離度區間分別為 [?4.38,3.32],[?20.91,25.21],[?41.17,20.93],[?14.17,22.24]和[?48.1,30.26].這組數據直接反映了:1)GET、ITT、TRT和CKMI 4種方法計算出的閾值和最優閾值總體上相差甚遠;2)總體而言,MNMI方法在不同灰度直方圖模式下具有更精確的閾值計算能力,或者說,它對不同灰度直方圖模式的圖像具有更強的適應能力.

3.4 計算效率的比較實驗

通過比較不同方法在相同硬件和軟件條件下的CPU耗時,可以直觀地反映不同方法在計算效率方面的差異.在相同的硬件和軟件條件下,同一個程序在不同的時間點運行,其CPU耗時通常會有輕微的浮動.為了降低這種浮動所產生的負面效應,讓每個參與比較的分割方法在同一幅測試圖像上連續運行20次,并以這20次運行所耗時間的均值作為該分割方法在該測試圖像上的CPU耗時.以此為基礎,可以進一步計算出每個分割方法在9幅合成圖像和59幅真實世界圖像上CPU耗時的均值和標準偏差(見表4).

表4 5個自動閾值分割方法的計算效率比較Table 4 Quantitative comparisons of 5 automatic thresholding methods in computational efficiency

圖6 6個閾值方法在59幅真實世界圖像上分割精度的量化比較(在每幅子圖中,各條水平虛線標示了對應情形下ME值的平均值)Fig.6 Quantification comparisons of segmentation accuracy for 6 thresholding methods on 59 real-world images(In each sub-figure,each horizontal dashed lines indicate the corresponding average ME,respectively)

如表4所示,總體而言ITT和GET兩種方法的計算效率相對更高,而CKMI、TRT和MNMI 3種方法的計算效率相對更低.ITT方法只需預先統計原始圖像X的灰度分布信息,然后進行相對簡單的均值和方差的運行,因此它的CPU耗時最少.GET方法也需要預先統計原始圖像X的灰度分布信息,不過由于它計算廣義熵涉及到對數運算,因此GET方法的計算代價比ITT方法略高.CKMI方法需要一個k均值算法估計初始閾值,然后涉及到對原始圖像X和二值圖像Yt的香農熵和聯合香農熵的計算,因此它的計算量比GET方法多一些,相應地也需要花費更多的CPU處理時間.TRT方法的主要計算代價發生在多尺度梯度乘變換和平穩過渡區計算上,而MNMI方法除了涉及多尺度梯度乘變換的計算外,還涉及二值圖像輪廓提取操作,以及圖像MX和CYt的香農熵和聯合香農熵的計算,因此MNMI方法的計算代價最大,CPU耗時最多.

為了提高MNMI方法的計算效率,可以將計算和尋找最大歸一化互信息量的目標分解為兩個過程來完成:跳躍式處理和逐級式處理.在跳躍式處理過程中,對原始圖像X的灰度區間[tmin,tmax],將算法1中步驟3的逐個灰度處理,改為以一定步長ρ跳躍式處理,而計算歸一化互信息量的其他步驟不變.跳躍式處理過程執行完畢,輸出一個灰度值ttemp,它對應于跳躍式處理過程中產生的最大歸一化互信息量.然后,在逐級式處理過程中,對灰度區間[ttemp?ρ+1,ttemp+ρ?1]逐個處理,即將算法1中步驟3的灰度區間[tmin,tmax]替換為[ttemp?ρ+1,ttemp+ρ?1],而計算歸一化互信息量的其他步驟不變.逐級式處理過程執行完畢,輸出最終的分割閾值tfinal,它對應于灰度區間[ttemp?ρ+1,ttemp+ρ?1]內的最大歸一化互信息量.如表5所示,不管是合成圖像還是真實世界圖像,1)當步長ρ從1變化到6時,平均CPU耗時都逐漸減少,但是平均ME值基本保持不變;2)當步長ρ從7變化到15時,平均CPU耗時基本維持穩定,但是平均ME值出現波動.這樣,當步長ρ取4,5或6時,MNMI方法可以在保持分割精度的同時,在計算效率方面接近于CKMI方法和TRT方法.

圖7 對59幅真實世界圖像,MNMI,GET,ITT,TRT,CKMI方法和IT方法獲得的閾值之差(在每幅子圖中,每個黑點旁的數字標示了相應的閾值差)Fig.7 The differences between MNMI,GET,ITT,TRT,CKMI and IT methods in segmentation thresholds for 59 real-world images(In each sub- figure,the number beside each black point labels the specific difference of segmentation threshold)

表5 不同步長下MNMI方法的計算效率和誤分類率Table 5 Computational efficiency and ME of MNMI method with different steps

4 結論

對灰度直方圖呈現為雙峰、單峰、無峰或者多峰特征的圖像,當前景或背景的灰度分布可以用正態分布、極值分布、瑞利分布、貝塔分布、均勻分布或者它們的混合分布逼近時,MNMI方法雖然在計算效率方面不優于GET、ITT、TRT和CKMI方法,但是MNMI方法在自動閾值選擇方面具有更穩健的適應能力.MNMI方法的穩健性和適應性得益于:1)MNMI方法利用多尺度梯度乘變換進行了圖像的規范化,可將具有不同灰度直方圖模式的原始圖像轉化為具有單峰長拖尾分布特征的規范圖像;2)MNMI方法計算規范圖像和二值輪廓圖像之間的統計相關性,兼顧了規范圖像和二值輪廓圖像各自提供的信息;3)MNMI方法引入基于幾何均值的歸一化互信息量,有利于應對二值輪廓圖像中值為1的像素個數和值為0的像素個數比例失衡的情況.