探析坐標幾何的應用意義及其在計算機中的實現

◆白雨飛

(河北省石家莊市第二中學)

一、引言

隨著人們對大自然的探索與開發，人們對幾何圖形的應用日益增多，也逐漸體會到了其形狀的美麗，從而引發了人們對幾何圖形的研究，幾何學應運而生。隨著對幾何圖形研究的不斷深入，人們發現用邊角關系推算類似圓錐曲線等復雜圖形時十分困難，直到1637年笛卡爾發明了坐標系，通過借助坐標系采用代數方法解決幾何問題，可以把原本復雜幾何關系轉換為簡單的代數運算，使得人們對幾何的認識更進一步。在計算機出現和發展之后，如何將幾何圖形呈現在計算機上成了一個迫在眉梢的問題。而坐標幾何就成了一個有利的手段，它在計算機中的實現一時成了人們研究的重要方向。

坐標幾何作為客觀幾何與計算機圖形實現的紐帶，其作用是十分巨大的。基于坐標幾何的重要作用，對坐標幾何的應用意義及其在計算機中的實現進行了深入的分析與總結，以此為進一步認識數學與計算機之間的關系奠定基礎。

二、坐標幾何及其應用

1.坐標幾何概念

坐標幾何是在笛卡爾坐標系的基礎上，由笛卡爾和費馬等數學家創立與發展的，用解析式法探究平面幾何中幾何對象性質和關系的一門幾何學分支。坐標幾何包括平面坐標幾何與立體坐標幾何兩部分，通過笛卡爾坐標系，建立實數與坐標點的一一對應關系，和空間點線面與方程一一對應的關系，運用代數處理方法研究幾何圖形的性質，或用幾何圖形的性質研究代數問題。

2.坐標幾何的應用技巧

在面對平面解析幾何或立體幾何類型的問題時，應先在最便于構造垂直的位置建立坐標系，之后用長度關系將各點用坐標表示，進而可以將點、線、面、體的幾何關系表示為坐標或方程，將所求結論轉化為函數解析式組，并聯立求解相關的問題。結合筆者的一些應用經歷，有些問題可以通過坐標幾何的方法進行簡化處理。

(1)當遇到與向量垂直有關的問題時，若向量表示出現分數，則可直接同乘最小公倍數去掉分母，簡化后面運算且不會影響結果的準確性。

(2)當遇到斜率相同的線段長度比值時，可直接轉化為投影長度比，將大幅節省時間。

(3)在高中解析幾何問題求解過程中，有許多方便的結論可以直接使用，在許多題目中均可簡化過程：

①在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，若P為橢圓上的一點(x0，y0)，則P的切線方程為x*x0/a2+y*y0/b2=1。

②在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，若P為橢圓外的一點(x0，y0)，則過P引橢圓的兩條切線切于P1，P2，過P1P2的直線方程為x*x0/a2+y*y0/b2=1。

③在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，不平行于橢圓長短軸的直線交橢圓于A，B兩點，M為AB中點，kab為AB斜率，koM為OM斜率，則kab*koM=-a2/b2。

3.坐標幾何的應用意義

在現今的高考及競賽考綱中，解析幾何都是重點考查內容，且分值占總分的比例較高，而且其他部分多數可以用坐標幾何的方法及思想解決。在生活中，坐標幾何也為生產提供了便利。在機械零件設計圖中，僅用簡單標識的方法很難精準表示每個零件位置，而用坐標幾何的坐標表示則極為便利且精確。

坐標幾何的創立，在當時便體現出了巨大的價值，而在300多年之后，計算機得到大量使用時，解析想法發揮了重要作用，對于算法、幾何圖形在計算機中的表達和程序的編寫都奠定了基礎，成為計算機應用技術發展必不可缺的一部分。

三、坐標幾何在計算機中的表達

1.常見幾何圖形的表達方法

點、線、面、體是我們目前三維空間所有幾何圖形的基礎描述方法。在一般認知中，我們認為點沒有大小，只有位置，而線的形成則是由點移動得到的，面是由線移動得到的，體是由面移動得到的。

在三維直角坐標系中，若用x值描述橫軸數值，y值描述縱軸數值，z軸描述豎軸數值，用(x，y，z)數對來描述點的位置，用三個不共線的確定的點來確定一個平面，一般用Ax+By+Cz+D=0表示平面，通過待定系數的方法可以求得唯一的A、B、C、D，因此就得到一個確定平面方程，即所謂的三點確定一個平面。

在平面方程已知的情況下，便可以通過兩平面來描述直線，因為任何一條直線可以看成兩個面的交線，只要將兩個平面方程聯立即可，如聯立A1x+B1y+C1z+D1=0與A2x+B2y+C2z+D2=0，相應的其標準式可以寫為(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，其中(a，b，c)為該直線的方向向量。從這里可以想到，立體結構可以由系列面的不等式組構成，這里的面包括曲面，典型的比如長方體，則可以由六個平面不等式組聯立得到。

2.計算機圖形的幾何變換方法

計算機的圖形顯示是依賴于幾何坐標實現的，只要是計算機圖形軟件，其內部的機理本質上就是空間坐標的運算，比如涉及計算機圖像的幾何變換，如常見的有空間平移、按特定位置旋轉、按比例要求縮放和仿射變換等。

圖像的幾何變換實質是改變圖像像素空間位置，按照變化關系計算圖像在新空間的像素值。一般而言，圖像的幾何變換表達式如式(1)所示。

3.計算機圖形的幾何變換案例

在計算機圖形變化中，對圖像進行方向、尺寸和形狀等方面的變換本質上是通過改變圖像的坐標描述來實現。現假設一個三角形三個頂點的坐標為{100，50}，{200，50}，{150，150}，則通過建立一個1000*1000的工作窗口，并定義該工作窗口左上角原始坐標位于(100，100)處。則在計算機圖形中通過軟件可以繪制該三角形，并通過簡單的程序可以進行一些特定的幾何變換，如第一步將三角形沿中心x軸和y軸方向縮小1/2，第二步將圖像沿著初始的位置中心旋轉90ο，第三步則將圖像沿著y軸平移200個單位。通過編寫相應的程序如下：

/*****開始：建立畫圖窗口，指定屏幕左上角坐標*****/

glutInitWindowSize(1000，1000)；

glutInitWindowPosition(100，100)；

/*****結束：建立畫圖窗口，指定屏幕左上角坐標*****/

/*************開始：按要求畫出三角形*************/

void draw_triangle(void)//繪制三角形

{

glBegin(GL_TRIANGLES)；//開始畫三角形

glVertex2f(50，50)；

glVertex2f(200，50)；

glVertex2f(150，50)；

glEnd()；

}

/*************結束：按要求畫出三角形*************/

/*************開始：功能實現*************/

glScalef (0.5， 0.5， 1.0)；//沿著其中心的x軸，y軸方向縮小%

glTranslatef(0.0，200.0，0.0)；//平移200個單位

glRotatef(90.0，0.0，0.0，1.0)；//旋轉90度

glColor3f(0.0，255.0，1.0)；

draw_triangle()；

/*************結束：功能實現*************/

即可得到相應的效果，如圖1所示。可見，在計算機圖形變換中主要是實現坐標的運算，也正是有坐標幾何的理論基礎，才有如今的計算機圖形發展，這給計算機的發展帶來了巨大的推動作用。

四、結論

從坐標幾何創立至今，它的應用范圍正在不斷擴大，人們的重視程度也在不斷增加。可以說，坐標幾何是機械化與信息化發展的重要動力，而在計算機中的實現則是較主要的研究方向及應用方式，所以，坐標幾何在計算機中的應用已經成為眾多計算機應用科學的關鍵。通過文章對坐標幾何的應用意義和在計算機中的實現方法的研究闡述，可以看到坐標幾何作為計算機相關學科發展的基礎，具有重要的理論價值和應用價值，需要得到初學者的重視。