中學三角函數在解題中的應用研究

◆荀光玲

(煙臺高級師范學校)

對于中學學生而言掌握三角函數知識點，并熟練運用三角函數進行解題具有重要的意義。學習三角函數可以提高抽象思維能力。三角函數可以將圖形的邊長關系、角度關系通過公式表達并建立關系，有助于學生在數形之間變換。三角函數將抽象的圖形轉化為公式、代數的形式進行表達。通過數學表達之間的變換、整理、計算，無形中增加學生的計算渠道，培養了計算能力。

一、三角函數解題的基本應用

1.代數解題中的應用

三角函數在解題中的應用是指將代數問題通過三角函數轉換，將原問題轉化為三角函數問題，利用三角函數的定義、性質和相關定理進行解決問題。對于部分復雜的代數問題進行三角函數轉化后，可以達到化難為易、化繁為簡的效果，為解決代數問題提供捷徑。

選擇合適的三角函數進行代換是三角函數解決代數問題的關鍵。進行三角函數轉換時，首先應從題中變數的允許值去考慮；再從解題的需要通過分析，選擇合適的三角函數進行代換。在進行三角代換后，再根據所求問題，采取對應的三角函數的性質進行求解。

2.幾何解題中的應用

三角函數在幾何解題中的應用，就是講幾何問題轉化為三角函數問題，運用三角函數的性質、定理完成幾何命題的證明或求解。對于某些幾何問題在證明或者求解時往往比較復雜，無法應用幾何定理直接解決。然而，將上述問題三角化后，理論三角函數的性質進行解題，不僅證明過程簡捷，而且證明思路也比較自然，易于證題。

3.最值解題中的應用

三角函數在最值解題中的應用是指將原函數中的自變量進行適當的三角函數化后，利用三角函數周期性、最值性等性質，求解原函數的最值問題。因為目標函數為有界函數，因此可以進行適當的變換，將解析幾何最值問題轉化為三角函數的最值問題。本題型的解題關鍵為將原來目標函數進行三角化后，并靈活地選擇變量，運用三角函數解析后，建立原目標函數的三角函數表達式。

二、三角函數解題常見問題

1.基礎理論知識掌握不扎實

對基礎知識的扎實掌握是解題的基礎和關鍵。主要體現在以下幾個方面：首先，對三角函數基本含義的掌握不理解，或者對有些問題模棱兩可。其次，缺乏主動性導致知其然，但不知其所以然。這勢必導致學生在解題中，對于未遇到的過的題缺乏應對能力。

2.三角函數問題分析能力不足

分析能力是解決三角函數問題必須培養的一種能力，然而現實中學生在解題和教師在授課中往往忽視了這一點。對于很對學生和老師，當遇到問題時常常不去思考，而是機械性、慣性的去解題。這往往導致問題解決到一半才發現無法再進行下去。這種學習和教學方式雖然增加了做題的工作量，但實際并未提高、培養學生的分析問題的能力。在遇到其它問題時往往不知如何分析或尋找突破口。

三、中學三角函數在解題方法總結

1.定義法

定義法解題是指通過三角函數的基本定義，對問題進行整理、分析，進而得到解決問題途徑的一類方法。

例題1：在△ABC中，已知△中三邊的長度分別為a、b、c，∠C=90°，求a3cosA+b3cosB？(可以用a、b、c進行表達)。

解題思路：分析可以看出，被處理的式子無法直接進行計算。因為a、b分別代表了數值，cosA、cosB分別表示了兩角的函數。可以將上述兩種類型的代數，轉換為同一種類型的在進行計算。

四、結語

運用三角函數解決解題，對于鍛煉學生計算能力、思維能力、分析能力等均有較大幫助。引導學生選擇正確的方法進行解題，在三角函數解題中十分關鍵。因此，在日常教學中應常與學生進行溝通，要引導學生面對問題時勤于梳理，對于方法要善于總結，進而提高學生運用三角函數進行解題的能力。