對中學數(shù)學概念教學的一些思考

俞求是

【摘?要】?本文對中學數(shù)學概念定義教學問題進行了一些討論，著重對于三角函數(shù)概念定義的教學改革問題作了一些研究，認為目前必須兼顧用單位圓上點的坐標定義和用終邊上一般位置點的坐標定義.不宜對中學數(shù)學的概念作隨意的改變.中學數(shù)學概念的定義應該以權(quán)威的《中國大百科全書》作為依據(jù)，不宜隨意更改某個概念的定義方式.對于三角函數(shù)的定義教學，美國三角學教科書《Contemporary Trigonometry》值得參考.中學數(shù)學教育依然需要堅持辯證唯物主義的指導.教學改革不宜輕率改變“連接”概念的意義;目前概率概念教學中通常引入拋擲硬幣的教學設(shè)計往往存在著概念不清的問題，值得引起重視.教學設(shè)計首先應弄清相關(guān)概念的準確意義.

【關(guān)鍵詞】?概念;定義;三角函數(shù);平行平面;圓;連接;自然數(shù);概率

在紀念改革開放40周年的時候，大家都在思考怎樣盡快提高中學數(shù)學教學質(zhì)量的問題.提高教學質(zhì)量永無止境.教學改革會有陣痛，不進行改革就會有長痛，數(shù)學教學要不斷改革才能越改越好.對于一個數(shù)學概念，是否應該改，如果要改又該怎么改，本文結(jié)合目前某些研究動向作一些論述.

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式.概念的本質(zhì)屬性，也稱為概念的內(nèi)涵.概念的內(nèi)涵是對概念的質(zhì)的描述，它表明了概念所反映的事物是什么樣的.概念的外延則是對概念的量的描述，它表明了概念所反映的是哪些事物.一般來說，對于一個概念下定義，就是揭示這個概念的內(nèi)涵，通過定義概念指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性，從而明確概念.給概念下定義是一種邏輯方法，是研究概念的起點，所有對于概念的研究是以概念的定義為基礎(chǔ)的.

目前一些數(shù)學教育界人士在討論重新定義某些概念的問題，本人認為這是一件非常慎重的事情.概念的定義是經(jīng)過長期實踐的考驗和逐步修正完善得到的，不能作輕易的更改，改變概念定義往往會造成一系列教學混亂.

三角函數(shù)的定義問題是一個例子.根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》編寫的高中數(shù)學教科書有多種版本，而部分版本對于三角函數(shù)定義作了改變，用單位圓上點的坐標來定義三角函數(shù)，這與長期以來三角函數(shù)的定義方式并不一致，而另一些教科書則仍用終邊上一般位置的點坐標去定義.根據(jù)同一個課程標準不同教科書給出了同一概念的兩種不同定義，于是就引起了我國高中數(shù)學界普遍的關(guān)注，并展開了長久而熱烈的討論甚至爭論.孰是孰非，何者更佳，辯論此起彼伏，互相不能說服對方.

實際上，要論證哪個定義方式更好，確實是困難的一件事.一種定義方式，有這種定義的獨特之處，就有了另一種定義不具備的長處，自己具備，別人卻不具備，也就是各有所長.就像童話故事里長頸鹿和小山羊比能耐一樣，三角函數(shù)的兩種定義方式的比較也類似有這樣的情況.

我們冷靜地來思考這個問題.用單位圓上點坐標定義三角函數(shù)的方式是用角的終邊上的一個特殊位置，在這個位置上，特殊性在于點到原點的距離r=1，而用終邊上任意位置的坐標來定義三角函數(shù)是一直以來三角函數(shù)所采用的定義，既然是任意的，當然包括了特殊的單位圓上特殊點r=1的情境的.所以，兩者的關(guān)系是特殊和一般的關(guān)系.特殊的定義是有特點的，不僅有特點而且有特長，在某些特殊的問題上有很好的針對性，如討論某些三角函數(shù)的性質(zhì)方面顯得很有針對性，直截了當.只不過這種定義又難免有其局限性.一般的任意的位置具有靈活性，具有普遍的廣泛應用價值，適用于較多的情境，如已知角終邊上任意一點求三角函數(shù)的值，尤其在解決后續(xù)的相關(guān)領(lǐng)域如求直線和圓的參數(shù)方程，極坐標方程，直角坐標與極坐標的互化等這些典型而重要的數(shù)學問題時顯得輕松自如，再不必另加討論，直接就可應用.兩者是特殊和一般的關(guān)系.我認為，只局限于特殊情形，也就成了一種限制，好像定義捆住了人的手腳，大家提出討論實際上是感覺到束縛的不適，要把捆綁人的繩索掙脫掉.相信各個版本高中數(shù)學教科書在教材討論和征求實驗教師意見時也都會得到意見的反饋，可以肯定老師們基本不會贊同用單位圓上點坐標來定義三角函數(shù).不過開始大家可能往往只局限于比較一般位置點坐標定義法與單位圓上點坐標的定義法哪種會更好一些，希望改變新定義回歸一般位置定義，沒有看到單位圓上點坐標來定義本身確實具有特長，結(jié)果大家也不能得到一致的意見.這使我們反思，我們以往對于數(shù)學概念的定義的教學處理中存在著對不同定義的難以取舍、難以決定的情形，存在著非此即彼的思維定勢，我們也許應該改變思路，在面臨一個概念存在兩種似乎等價的定義時，教學中可以對于兩種定義有所側(cè)重，或者兩者并重兩者兼顧，而不是采取簡單的一取一舍的策略.經(jīng)過教學實驗目前大家統(tǒng)一認識，認為不能把定義局限于特殊的情形而不推廣到一般和任意的程度，目前教科書作必要補充修訂是適當?shù)倪x擇.

當然，概念的定義畢竟是人為的，概念也是發(fā)展的，例如中學數(shù)學中數(shù)的概念、函數(shù)的概念等許多概念都經(jīng)歷了發(fā)展變化的過程，三角函數(shù)概念的歷史發(fā)展也是一個生動的例子，所以，概念的定義本來就是允許改變的;另外，對于某些概念，人們還往往給出不同的定義，就中學數(shù)學教材來說，就有一些概念，不同的國家的規(guī)定就不一樣.如平面平行的概念，有些國家把兩個平面重合也歸入平行關(guān)系，也就是，他們把我國高中數(shù)學教科書中的平行關(guān)系與重合關(guān)系兩種情形統(tǒng)一稱為平行;再如，有的嚴格區(qū)分了圓周、圓兩個不同的概念，他們定義的圓周就是我國通常意義下的圓的概念，而他們定義的圓則是平面上被圓周包圍起來的平面部分，包括圓周，前者是曲線，后者是平面的一部分.如果在中國也采用這樣的定義，教材的許多結(jié)論就要作重新表述了.中國的中學數(shù)學教材采用的定義雖然有所混淆，但是借助簡單的邏輯思考可以判定在具體情境中圓這個詞所指的是線還是面，在講圓的面積時圓這個詞必然指圓面，這應該看成是課程教材中的一種智慧的選擇，我們盡量地減少了繁瑣的東西.概念定義改變影響很大，要考慮這種影響，慎重改變定義.再就是，教材編者改變一個概念的定義，必須考慮更多的問題，要付出很大的努力.改變一個概念的定義，隨即就為概念新定義的教學提供了研究題材，實際上也就促進了教學研究.一般來說，改變中學數(shù)學教材中概念的定義應該非常慎重.目前，仍有一些討論說要改變?nèi)呛瘮?shù)的定義，用別的方式（據(jù)稱要用平行四邊形面積）來加以定義，本人贊同予以否定.目前，就概念教學還有一些意見.“自然數(shù)”是一個極重要的數(shù)學基本概念，一直以來，最小的自然數(shù)是1，而目前數(shù)0也歸入自然數(shù)集，對于這個變化，就有責疑“0真的應該成為自然數(shù)嗎？”;再如，長期以來幾何中“連接”一詞有確定的意義，這種意義也是在技術(shù)中廣泛應用的，教學改革應該改變這個科學技術(shù)常用術(shù)語的意義嗎？改變有價值嗎？這樣的改變一點都沒有推進科學的進步，而只是造成了混亂，這樣的改變甚至帶有破壞性.人們不禁要問，我們的數(shù)學教科書長期以來經(jīng)過遍布全國的廣大數(shù)學教育工作者和科技工作者實踐的檢驗，教材也是經(jīng)過像華羅庚、關(guān)肇直、丁爾升、楊樂、張廣厚等許多著名數(shù)學家和數(shù)學教育家的審查，像三角函數(shù)這樣的基本數(shù)學概念的定義是寫入由國內(nèi)科技界權(quán)威集體編寫的《中國大百科全書·數(shù)學》的，并經(jīng)過國家最頂尖的數(shù)學家和科學家所認同并在國內(nèi)科技教育界廣泛應用，教材又經(jīng)過歷屆國家教材審查專家審定通過，概念的科學性是經(jīng)受了長期實踐檢驗的，“課程標準”或者“教科書”去作重新規(guī)定是否算一種輕率的行為？很不好的影響是，這樣的改變沖擊了那些需要在工作中運用這些概念的廣大教師、科技工作者、技術(shù)工人等心目中對于科學概念的神圣的地位和觀念.教育工作影響廣泛，教育中長期使用的科學概念豈能視同兒戲，今年這樣，明年那樣，豈不造成混亂？進一步，這就意味著今后的各類數(shù)學詞典、百科全書是否也都應該照新課程標準對定義加以改變，從而引起全國各個領(lǐng)域的科技和教育界統(tǒng)一作出改變，想象這樣的改動其影響是多么巨大！這樣大的改革是否穩(wěn)妥？課程標準制訂者是否預想到，改變一個數(shù)學概念的定義會產(chǎn)生如此廣泛的連鎖反應？還有一個問題，以后類似的概念，對于課程標準制訂者和教材編者來說，應該參照的終級依據(jù)又應該是什么呢？我認為，《中國大百科全書·數(shù)學》應該可以作為這樣的權(quán)威的依據(jù)！

對任意角的三角函數(shù)，國際上的中學數(shù)學教科書普遍是用一般位置點的坐標來定義.有一本美國的三角學教科書，我認為對于任意角三角函數(shù)的定義的一些安排很有參考價值.此書名《Contemporary Trigonometry》（2006年出版），作者是Tomas W.Hungerford，全書共7章，第0章是預備知識，第1章是三角形中的三角學，第2章是三角函數(shù)，第3章是三角恒等式和三角方程，第4章是三角學的應用;第5章是解析幾何和三角學，第6章是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù).此書在第1章中教學內(nèi)容有銳角三角函數(shù)定義、應用三角函數(shù)解直角三角形、正弦定理和余弦定理、三角形的面積. 第1章在講正弦定理和余弦定理之前以任意角終邊上的任意一點的坐標（x，y）定義了任意角的正弦、余弦、正切這三個三角函數(shù)，然后講正弦定理和余弦定理、三角形的面積.在第2章第2.1節(jié)引入了弧度制，第2.2節(jié)引入實數(shù)t為自變量的三角函數(shù).其思想非常簡單：

教科書按照以上的思想，重新定義了三角函數(shù)定義，把三角函數(shù)定義成實數(shù)的函數(shù)：設(shè)t是一個實數(shù)，（x，y）是標準位置上t弧度角的終邊上的任意一點的坐標，r是此點到原點的距離，給出通常的三個函數(shù)的坐標定義.

以上給出三角函數(shù)定義的教材結(jié)構(gòu)與我國長期以來高中數(shù)學教科書引入三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)有所不同.長期以來，我們在講三角函數(shù)時，都是先講角的弧度制，然后定義任意角的三角函數(shù)，再講這樣定義的三角函數(shù)實際上也可以看成實數(shù)為自變量的.這個理解在教學上往往要費點勁，學生理解起來并不那么自然、順暢、清晰.而美國的這個教材則是螺旋式安排三角函數(shù)概念的引入，分三步走，學生理解起來比較容易，不像我們一直以來的講法難點比較集中，首先把三角函數(shù)推廣到任意角，再引入實數(shù)自變量的觀點，說角與實數(shù)一一對應，于是三角函數(shù)可以看成自變量為實數(shù)的函數(shù)，美國教材的難點分散了，三角函數(shù)直接定義成實數(shù)的函數(shù).《Contemporary Trigonometry》的定義不會產(chǎn)生任何的歧義，是完全清楚明了準確地得到描述的.不同的定義引入方式對于學生的理解當然是有差別的.《Contemporary Trigonometry》在第2.2節(jié)也討論了如果點P落在單位圓上時就有r=1，于是推出P點的坐標就是（cost，sint）.我認為，美國的這本教材三角函數(shù)定義的教學安排對于我國三角函數(shù)定義的教學確有一定參考價值.

概念的科學性是概念教學的根本要求.我認為，目前概率概念的教學中通常引入的擲硬幣教學設(shè)計，就存在著一些概念不清的問題.通常說拋擲硬幣得正面的概率等于0.5，粗略的泛泛而言，這樣的表述大致是可以的，不過我認為比較嚴格地也許應該這樣表述：“拋擲一枚硬幣得正面的概率大致等于0.5，以后一般情況下便于應用和討論，我們認為（假設(shè)），拋擲一枚硬幣得正面的概率等于0.5”，實際上，如果一定要堅持說“拋擲硬幣得正面的概率恰好就等于0.5”，我們一定會提出懷疑，難道這么個大千世界，所有的硬幣都會一模一樣，難道硬幣的質(zhì)量都會絕對的、毫無偏差地均勻分布？目前，一些教學設(shè)計，統(tǒng)計全班或全組同學拋擲硬幣得正面的頻數(shù)，據(jù)此得（估計）出拋擲硬幣得正面的概率，實際上，這樣設(shè)計教學，概念是不十分清楚的，這樣研究的是什么事件的概率呢？歷史上已經(jīng)經(jīng)過了大數(shù)次的拋擲試驗，目的是得到拋擲某一枚特定硬幣得其正面的概率究竟與通常宣稱的拋擲一枚硬幣得正面向上的概率為0.5的判斷會相差多大，在一定程度上也是希望通過試驗檢驗拋擲一枚硬幣得正面向上的概率為0.5的通常結(jié)論與真實情況的相符性，相信當時試驗者作拋擲試驗時絕不會找來一堆硬幣，然后一起拋擲來統(tǒng)計拋得正面的數(shù)量，這樣統(tǒng)計又有什么意義呢？就目前來說，應該盡快修正錯誤的教學設(shè)計.我認為，如果考慮課堂教學的局限性，而仍沿用類似的教學活動設(shè)計，就應該指出這種活動方案只具有近似的模擬性，雖然頻數(shù)統(tǒng)計值仍會比較相近（畢竟不同硬幣其質(zhì)其形總歸還是比較接近的），統(tǒng)計的頻數(shù)與概念本身的意義并不完全一致.應該告訴學生怎樣的拋擲硬幣試驗才是正確的試驗.從這個例子說明，進行教學設(shè)計，首先應該非常清楚教學中相關(guān)概念的意義，否則教學設(shè)計就容易出差錯.