整體建構 啟迪思維

劉玉華 王文清

【摘?要】?函數的單調性是高中階段第一個用數學符號語言來定量刻畫的函數性質，對于函數其它性質的學習具有范式的作用.函數的單調性是學習函數極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的重要模型和常用工具，也是發展學生數學素養的重要載體.本教學設計從數學知識整體的角度設計教學，讓學生了解知識的來龍去脈，感受知識的形成過程，把握數學的本質，啟迪思維.

【關鍵詞】?函數;單調性;整體建構;啟迪思維

1?教學目標及重難點

1.1?教學目標

（1）通過引導學生觀察、思考、交流、歸納、反思，幫助學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法;進一步體會數形結合的思想.

（2）通過“問題驅動”，激發學生數學學習的求知欲，發展學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養.

1.2?教學重難點

教學重點：增（減）函數定義及其形成過程，判斷和證明簡單函數的單調性.

教學難點：從圖象升降的直觀感知抽象出增（減）函數的定義.

2?教學過程

2.1?溫故知新，創設情境

設計說明：從學生初中學過的函數入手，在學生思維的最近發展區設置問題，使學生學會研究函數基本性質的方法，從而引出課題.

師：我們在初中學過哪幾種函數？請你分別畫出它們具有代表性的一個草圖.

生眾：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數.

（師選取學生畫的四種函數圖象并投影.）

師：根據我們選取的函數圖象，你能說出它有哪些特征嗎？

師：同學們回答得很好，在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質. 函數的性質有很多，今天我們先學習函數從左到右圖象上升或下降的這種變化規律——函數的單調性.

點評?學生經常覺得“課堂上聽得懂，課下不會做題”，原因在于學生不明白應該怎樣思考問題，如何學習新知識，本設計較好地示范了如何學習新知，體現了數學教學就是要通過數學教會思維.

2.2?循序漸進，建構定義

點評?通過觀察函數 f（x）=x2的圖象，從形的角度，完成對函數單調性的第一次認識;然后，從“數”的角度，在y軸左（右）側，描述函數值隨著自變量x的增大而減?。ㄔ龃螅瓿蓪瘮祮握{性的第二次認識;接下來，通過不斷設問、追問，引導學生思考不斷深入、觸及本質和核心，進而運用符號語言描述“函數值f（x）隨著自變量x的增大而增大（減小）”，完成對函數單調性的第三次認識;并在這一重點、難點之處，適時讓學生先獨立思考，再小組交流、討論，這是很及時、很必要、很有效的;最后，把函數 f（x）=x2的單調性，推廣到一般函數的單調性，完成對函數單調性的第四次認識.上面“口答”中的3個小題雖然簡單，但較好地完成了對函數單調性定義的第一次深化理解——定義的充要性特質.在這一環節的教學中，函數單調性定義的建構充分體現了數形結合、特殊到一般的數學思想方法，數學抽象、邏輯推理等核心素養較好地得到了落實.

2.3?解決問題，深化理解

設計說明：通過兩個例題，讓學生知道判斷函數的單調性有2種方法：圖象法和定義法，進一步鞏固和深化學生對函數單調性定義的理解.

點評?例1（1）是前面根據圖象判斷函數單調性題目的變式，由原來的連續函數變為分段函數，完成對函數單調性定義的第二次深化理解;（2）通過判斷正誤，特別是③，是定義的等價形式，幫助學生透過現象看本質，完成對函數單調性定義的第三次深化理解.

點評?執教者注意暴露學生的思維過程，抓住學生的易錯點、模糊點進行辨析，對證明過程糾正、完善，完成對函數單調性定義的第四次深化理解.

2.4?反思小結，形成網絡

設計說明：課堂小結從以下五個方面設計，主要是幫助學生梳理數學知識，總結數學方法，體會數學思想，感悟學習過程，通過畫出知識結構圖，使學生的思維網絡化、條理化.

師：同學們，我們本節課學習了哪些知識？是如何獲得這些知識的？在獲得這些知識的過程中用到了哪些思想、方法？有哪些基本題型？你有何感悟？

學生回答，師補充完善并出示本節課的結構圖（略）.

2.5?跟蹤訓練，鞏固深化

設計說明：作業的目的是進一步鞏固所學，作業1進一步回扣本節課開頭提出的問題，從“形”和“數”兩個角度討論函數的單調性;作業2進一步深化對函數單調性定義的理解，掌握證明的步驟.

點評?平時教學中，作業布置存在多而雜的現象，本作業設計雖然數量不多，但極具探究性和代表性，作業1涉及分類討論思想，作業2涉及轉化與化歸思想，都是對所學函數單調性的鞏固深化，題目不難，但較好地培養了學生的邏輯推理能力.

3?總評

要上好一節課，必須站在數學知識系統的高度進行整體把握，要有一條主線貫穿課堂始終，避免僅僅就事論事，把知識點一個個孤立起來進行教學.本節課的主線清晰，脈絡分明，充分調動學生思維的積極性，讓學生學得了知識、掌握了方法、提高了能力，較好地發展了學生的邏輯推理、數學抽象等核心素養.

3.1?整體建構，創設情景

好的開端是成功的一半.創設合理的情境引入課題，是上好課的關鍵.本節課的引入從復習初中學習過的函數入手，在學生思維的最近發展區設置問題，使學生明白新知識的學習不是“從天而降”，不過是在舊知識基礎上的進一步延伸、拓展和深化，讓學生清楚應該如何研究函數的基本性質，研究函數的哪些性質等等，讓學生“知其然”，并且知其“所以然”.這樣，學生學到的不僅僅是知識，還有思考問題的方法.

3.2?思維核心，注重素養

）上函數值f（x）隨著自變量x的增大而增大呢？”，“將其推廣到一般情況，試給出增函數的定義，并類比得出減函數的定義”，引導學生從感性認識（形）上升到理性認識（數），從具體（特殊的二次函數）到抽象（一般的函數），符合學生的認知規律，使得學生的認識不斷螺旋上升，發展了學生的數學抽象素養.又如，對定義的深化理解，也是分為四個階段，根據連續函數的圖象判斷函數的單調性，根據分段函數的圖象判斷函數的單調性，通過文字敘述辨析函數的單調性，最后利用定義證明函數的單調性，深化的過程由淺入深，“知道——理解——掌握”，逐步推進，設計可謂極具匠心，較好地發展了學生的邏輯推理素養和數學運算素養.

3.3?邏輯清晰，重點突出

本節課的邏輯清晰，課堂以“情境引入——建構定義——定義應用”為線索，站在知識整體的角度設計;建構定義，通過循序漸進的四次認識完成;定義運用通過循序漸進的四次深化，使得本節課始終圍繞一個主題“函數的單調性定義”進行，重點突出鮮明.其中在定義的建構環節，用符號語言描述“函數值f（x）隨著自變量x的增大而增大（減?。笔侵攸c也是難點，為此，教師“咬文嚼字”，引導學生說出“要描述自變量x的增大，就要取兩個不同的x值，然后比較相應的函數值f（x）的大小”等等;又如，“任意”兩字是學生認識的難點，為此，教師通過引導學生舉反例、畫圖象等，讓學生充分認識“任意”的必要性和重要性.整節課，教師主導給力，學生主體用力，課堂和諧，一派生機.

《普通高中數學課程標準》（2017年版）指出：“數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法;提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界;促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，探尋事物變化規律……” [1]本節課較好地做到了這一點.

參考文獻

[1]?中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.