根“生”才能發“芽”

胡艷枚 蔡曉

【摘 要】數學知識的教學，不但要注重知識的延伸點——“發芽”，更要挖掘知識的“生長點”——“生根”，了解知識的來龍去脈。

【關鍵詞】挖掘知識“生長點”;滲透數學思想;掌握數學方法;積累數學經驗

筆者在教完七年級北師大版《數學》三角形的三邊關系后，為學生布置了三峽學典《高效課堂作業》中對應內容的能力提升中的一題，研究發現其解題思想的應用相當廣泛。因此，筆者在此將其作為一個引例，并就其幾個典型的相關應用進行說明，以饗讀者，并借此起到拋磚引玉的作用。

引例：已知，如圖1，在△ABC中，AC=7cm，三角形的中線AD=5cm，求三角形AB邊的取值范圍。

分析：本題的關鍵就是要將AB，AC，AD設法構置在一個三角形中，應用三角形的三邊之間的關系加以解決，因此得到如下解法。

評注：本題在解決過程中，用到了已知三角形的中線或中點，延長中線使所延長的部分與中線的長度相等，然后需要連結相應的頂點，根據SAS構造一對全等三角形。此種方法多應用于證明或求解轉換三角形邊之間的關系，我們習慣將這種方法稱為“倍長中線法”。此種方法在許多較復雜的中考幾何題中應用廣泛。現以這種方法作為思維的“生長點”，為大家列舉幾例，幫助學生鞏固應用此種解題方法，提高解決數學問題的能力，以期能為學生的數學學習提供一點幫助并與其他讀者共勉。

例1：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC上一點，ED⊥AB于D，O為BE的中點，連結OC、OD。

（1）求證：OC=OD;OC⊥OD。

（2）如圖3，將△ADE繞點A逆時針方向旋轉角度α（0°<α<90°），其它條件不變，那么（1）中的結論還成立嗎？說明理由。

分析：本題的切入點是中點的靈活應用，中點是本題解題的焦點。所求結論的兩條線段同時在等腰直角三角形中出現是本題的歸宿。因此，可借用引例的輔助線作法，將第一問證明思路的探究完全類比地應用于第二問的探究證明之中，體現了數學中由特殊到一般的解題思想，但在變換過程中，數學結論的本質卻未發生變化。

有人得到了一張藏寶圖，上面寫道：“在某小島的北部有一棵松樹、一棵橡樹和一個絞架，從絞架走到橡樹，記住所走的步數，向右拐直角，走同樣的步數打個樁，然后回到絞架;再從絞架走到松樹，記住所走的步數，向左拐直角，走同樣的步數再打一個樁，在兩個樁正中間挖掘，就可以找到寶藏。”此人到小島后，找到了松樹和橡樹，由于年長日久，絞架已無任何痕跡，試幫助此人設計取寶的方案。如圖8：

實際上，由例1可知，△BMD為等腰直角三角形，所以點M的位置與點A無關，因此，視點B、點D為橡樹和松樹所在的位置，點A為絞架的位置，則點M即為藏寶的準確位置。只需做橡樹B和松樹D所在線段的垂直平分線和線段CE的交點即為藏寶地點。

可見，數學知識的教學，不但要注重知識的延伸點——“發芽”，更要挖掘知識的“生長點”——“生根”，了解知識的來龍去脈。上述幾個典型的例題，實質上都是由一個“荒島探寶”這一數學名題延伸而來。作為數學教師，應當在自己的日常教學過程中，有意識地讓學生接觸一些初等數學名題，這些數學名題的基本思想對提升學生的數學素養大有裨益，同時，可讓學生體驗到解題過程中，除了落實基礎知識和基本技能外，還能掌握一些基本的數學思想方法，并積累一些基本的數學活動探索經驗，會使學生終身受益！