“守破離”，寓匠道之魂于數(shù)學(xué)課堂中
——2018 年南京市中考數(shù)學(xué)壓軸題教學(xué)導(dǎo)向分析

江蘇省蘇州市吳中區(qū)碧波中學(xué) 王叢叢

一、試題呈現(xiàn)

（南京卷第27 題）結(jié)果如此巧合！

以下是小穎對(duì)一道題目的解答。

題目：如圖，Rt △ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D。AD=3，BD=4。求△ABC的面積。

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，CE的長(zhǎng)為x。

根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x。

根據(jù)勾股定理得，（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2。

整理，得x2+7x=12。

小穎發(fā)現(xiàn)，12 恰好就是AD·BD，即△ABC的面積等于AD與BD的積，這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索：

已知△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n。可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證△ABC的面積等于mn。

倒過(guò)來(lái)思考呢？

（2）若AC·BC=2mm，求證∠C=90°。

改變一下條件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積。

二、試題特色解讀

1﹒立足教材之本，體現(xiàn)人文關(guān)懷

本題原型來(lái)自蘇科版教材九年級(jí)上冊(cè)第五章第5 節(jié)“直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系”的課后習(xí)題5.5 第13 題，原題如下：

在△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F，且BD=6，AD=4，求⊙O的半徑r。

教材習(xí)題是要解決內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)度，而中考題則在此基礎(chǔ)上作了延伸，研究△ABC的面積，但其解決問(wèn)題的本質(zhì)未變，都需要利用勾股定理列方程解決問(wèn)題。本題既確立了教材的中心地位，又對(duì)教材習(xí)題做了延伸和拓展，為教師的教學(xué)指明了方向。

學(xué)生在中考如此緊張的氛圍中看到經(jīng)典而又熟悉的圖形，題目語(yǔ)言簡(jiǎn)潔清爽，讓學(xué)生懸著的心不免放下，感覺(jué)最后一道壓軸題也可攻破，顯示出命題者對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷。讓學(xué)生心中產(chǎn)生壓軸題壓的并非是“難、偏、怪”，而壓的是課本的經(jīng)典和基礎(chǔ)之感，從而跳出“題海戰(zhàn)術(shù)”，回歸教材之本。

2﹒題目層次分明，凸顯匠道之魂

“守、破、離”源于日本劍道學(xué)習(xí)方法，后發(fā)展到匠人行業(yè)中，用來(lái)描述匠人精神。而本題的層次與“守、破、離”的精神一致，凸顯匠道之魂。

（1）守——以模仿為基礎(chǔ)，全力吸收所傳授的知識(shí)

“守”即是模仿，成功的第一步驟就是“復(fù)制”。所以題目首先給出了小穎對(duì)一道題目的解答過(guò)程，這部分其實(shí)是為第（1）小題提供思路，起了鋪墊作用。學(xué)生在閱讀完解題過(guò)程后，理清題意，即可模仿小穎的解答過(guò)程，將具體數(shù)值3 和4 替換為m和n，即可做出正確答案。

（2）破——邊摸索邊探索，將堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化為自身本領(lǐng)

“破”即是轉(zhuǎn)化，在模仿的過(guò)程中轉(zhuǎn)化為自己的內(nèi)在。第（2）小題其實(shí)相當(dāng)于證明第（1）小題的逆命題，題目難度略有提升，但是起伏不大。該題其實(shí)是考查學(xué)生是否真正理解題（1），從而對(duì)題（1）進(jìn)行反過(guò)來(lái)的應(yīng)用，既能考驗(yàn)學(xué)生在題（1）“守”的部分是否深入理解，又能考查學(xué)生是否將題目消化吸收轉(zhuǎn)化為自身部分而產(chǎn)生想法。

（3）離——開(kāi)創(chuàng)新境界，加入自己的想法

“離”意味著“分離”，意味著學(xué)生要走自己想走的路，這一階段是最難的。“離”代表著過(guò)往學(xué)習(xí)的所有技巧和知識(shí)已經(jīng)成為學(xué)生的一部分，學(xué)生能流暢熟練地運(yùn)用它們。第（3）小題打開(kāi)新的境界，難度進(jìn)一步提升，改變∠ACB的度數(shù)，讓學(xué)生用m、n表示的面積。看似題目發(fā)生了本質(zhì)性的改變，讓學(xué)生無(wú)從下手，但學(xué)生在經(jīng)歷了模仿和探索后，通過(guò)深入的分析思考，便會(huì)產(chǎn)生與解決第（1）小題的類(lèi)似思路。要表示△ABC的面積，便要表示出△ABC的底和高，而此三角形沒(méi)有高，所以需要構(gòu)造高并想辦法表示高。一旦把高作出來(lái)，又產(chǎn)生了90°的角，便可利用勾股定理找到x、m、n之間的關(guān)系式，再用面積表達(dá)式和整體代換思想將答案求出。

3﹒幾何分析與代數(shù)運(yùn)算并重，考查學(xué)生基本素養(yǎng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)、數(shù)據(jù)分析觀(guān)念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想，還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。本題在考查符號(hào)意識(shí)、幾何直觀(guān)、運(yùn)算能力和模型思想上都大有體現(xiàn)。縱觀(guān)本題3 道小題，無(wú)一小題出現(xiàn)具體數(shù)字的運(yùn)算，全部是用字母代表數(shù)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算和推理，讓學(xué)生明白符號(hào)的使用，尤其是用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。而貫穿其中的整式運(yùn)算的量也不小，稍有不慎，便無(wú)法得出正確結(jié)論，需要學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算基礎(chǔ)。第（3）小題中的輔助線(xiàn)作法，就可以憑借幾何直觀(guān)由面積而自然想到，再借助第（1）小題的模型利用勾股定理建立方程。不難看出，南京市的這道中考題考查了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)生十大核心素養(yǎng)，為教師在課堂的教學(xué)指明方向。

4﹒追本溯源，隱藏創(chuàng)新解法

學(xué)生如果打破本題的慣常風(fēng)格，不用題目提供的思路，而是回顧教師在講解這一圖形時(shí)講過(guò)的等面積法，也可以利用等面積法解決本道題。方法如下：

連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，并過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，設(shè)內(nèi)切圓的半徑OD=OE=OF=r。

∵∠ACB=60°，∴∠OCF=30°，

∵AG⊥BC，∴∠AGC=90°，

三、教學(xué)導(dǎo)向

1﹒教學(xué)之“守”——不忘初心，回歸課本

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的代言人，是教師執(zhí)教之本，一線(xiàn)教師不能忽視對(duì)課本例題和習(xí)題的教學(xué)。現(xiàn)在網(wǎng)上資源和市面上的習(xí)題教輔很多，許多教師將新課知識(shí)講完，隨手在網(wǎng)上或教輔上印一張?jiān)嚲斫o學(xué)生做，試卷上的題目是否符合學(xué)生的實(shí)際情況也無(wú)從談起，導(dǎo)致對(duì)課本的“經(jīng)典”輕輕滑過(guò)，讓學(xué)生在“題海”中找不到方向。許多中考題都能從教材上找到影子，所以教師應(yīng)該認(rèn)真研究教材，巧妙利用教材的例題和習(xí)題，不忘“培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)”之初心，固學(xué)生“基礎(chǔ)知識(shí)”之本，培學(xué)生“基本技能”之元，讓教學(xué)回歸到樸實(shí)和真實(shí)。只有學(xué)生打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在中考中自在地發(fā)揮自我。

2﹒教學(xué)之“破”——循序漸進(jìn)，尋求變式

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“靈感”如同語(yǔ)言學(xué)科的“語(yǔ)感”一樣，也是在打好基礎(chǔ)，循序漸進(jìn)的過(guò)程中積累出來(lái)的，并非一蹴而就。教師應(yīng)設(shè)計(jì)好每一個(gè)環(huán)節(jié)，關(guān)注好學(xué)生的思維動(dòng)向，在課本的例題和習(xí)題上進(jìn)行變式教學(xué)。當(dāng)學(xué)生掌握了基本知識(shí)與技能，就應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生開(kāi)始試著去理解出題者背后的理念，也可讓學(xué)生嘗試出題。在這一過(guò)程中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，丟棄依賴(lài)教師的習(xí)慣，并養(yǎng)成反思、質(zhì)疑的習(xí)慣，要能舉一反三，融會(huì)貫通。例如本題中第（3）小題，命題者選取了60°的角，教師在講解時(shí)可以變換角度，如特殊角30°、45°，與學(xué)生共同探討35°、45°角是否可行，命題者為何最終選取了60°角。

3﹒教學(xué)之“離”——且學(xué)且思，舉一反三

初三試題的講評(píng)不僅是為了學(xué)生順利通過(guò)中考服務(wù)，更要激發(fā)他們的學(xué)習(xí)潛能。學(xué)生不能拘泥于原來(lái)所學(xué)，要“分離”，從而達(dá)到升華之境界。例如本題的第（3）小題，教師更可與學(xué)生探究∠C角度變?yōu)槿我饨铅習(xí)r，結(jié)論如何？筆者試做如下探究：

對(duì)教師來(lái)說(shuō)，“守、破、離”就是讓學(xué)生從“無(wú)我”進(jìn)入“自我”階段，再升華到“超我”階段，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路。通過(guò)南京市的這道中考題，我們應(yīng)學(xué)習(xí)其匠人之道，將“匠道之魂”孕育于每節(jié)數(shù)學(xué)課堂中，培養(yǎng)學(xué)生良好思維習(xí)慣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。