圓錐曲線中的定點問題探究

楊曉沐 胡豐立

摘 要 課程標準將數(shù)學(xué)內(nèi)容分為四塊，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計與綜合與實踐，圓錐曲線分屬圖形與幾何，是高中數(shù)學(xué)中解析幾何模塊中重要的一部分內(nèi)容，而求解與求證圓錐曲線中的有關(guān)定點問題是圓錐曲線中的重難點。又因此類問題計算量大、解題難度較高且對于考察學(xué)生是否掌握了知識間的聯(lián)系與綜合有明顯效果，成為高考數(shù)學(xué)卷中的“常客”，突破這一難點對于學(xué)生尋找數(shù)學(xué)規(guī)律、提高解題能力有重要的作用。

關(guān)鍵詞 圓錐曲線;定點問題;類型;解法

中圖分類號：DF04，O241.7???????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）12-0179-01

圓錐曲線是數(shù)學(xué)人教版選修1-1?? 中的內(nèi)容，圓錐曲線的定點問題實質(zhì)上涉及到了圖形的變與不變的性質(zhì)、直線方程、參數(shù)方程等，化解這一問題需要引進變量參數(shù)，包括表示直線方程的參數(shù)、表示數(shù)量積的參數(shù)、表示比例的參數(shù)等。筆者將從圓錐曲線的常見定點模型開始論述，并結(jié)合案例呈現(xiàn)出一般的解題方案，希望對更多的學(xué)生有所幫助。

一、圓錐曲線定點問題的四種模型

（一）切點弦恒過定點問題模型

切點弦是指在一條曲線外的一點引兩條切線得到兩個切點，再將切點相連就是切點弦。切點弦有一個特殊的性質(zhì)，即對于曲線 ???????，設(shè)引切線的定點為Q（m，0）（），切點為A，B，則直線AB恒過定點Q。在圓錐曲線考題中常常會給出切線方程或切點坐標求證切點弦恒過定點或給出定點求切點弦方程，我們將這一類問題總結(jié)為切點弦恒過定點問題。

（二）相交弦過定點問題模型

相交弦是指圓內(nèi)相交的兩條弦，相交弦性質(zhì)是切點弦性質(zhì)的拓展，因此切點弦過定點問題的結(jié)論在相交弦過定點問題中同樣適用。不過，相較于切點弦過定點問題，相交弦過定點為題涉及的坐標更多，計算量也較之更大，解題時必須注意細節(jié)。那么什么是相交弦過定點問題呢？我們通常將涉及兩條相交弦的求證過定點或給出定點和一條弦方程求取另一條弦方程的問題總結(jié)為相交弦過定點問題。

（三）動圓過定點問題模型

動圓是指圓心改變半徑不變的圓，由概念可知此類圓方程一定含有未知數(shù)，動圓過定點的實質(zhì)是“先對定點張直角”的另一種應(yīng)用，也可以說是垂直向量的相關(guān)問題。一般來講，此類問題除了圓錐曲線方程必定會涉及到圓的相關(guān)組成因素，如半徑、直徑、圓心等等。

（四）“手電筒”問題模型

“手電筒”問題是指涉及到圓錐曲線上任意一點P與過P點相互垂直的兩條線交圓錐曲線的A點與B點組成的線段AP與BP，再加上AB線段共三條線段的過定點問題，取名“手電筒”是因這三條線段整體呈現(xiàn)的圖形與手電筒相似。

二、圓錐曲線過定點問題的一般解法

（一）應(yīng)用“參數(shù)法”求解

圓錐曲線過定點問題往往會與動直線或動點相聯(lián)系，而動點與動直線因為其的不確定性使用參數(shù)來表示，也就是將參數(shù)引入來解決問題。在求取圓錐曲線問題設(shè)參數(shù)可以分為設(shè)參數(shù)表示點的坐標與用參數(shù)表示直線的斜率兩種情況。不過，不管是哪種情況，解題步驟都是一樣的。第一步，設(shè)參數(shù)來表示點坐標、直線的斜率或用引入?yún)?shù)的點的坐標直線的夾角等;第二步，根據(jù)題目中的已知條件列出對應(yīng)的曲線方程與動態(tài)直線方程;第三步，求直線過定點。如果是動直線，將動直線方程轉(zhuǎn)變?yōu)?img alt="" height="14" src="file：///C：/DOCUME～1/ADMINI～1/LOCALS～1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif" width="66"/>，當k∈R時直線恒過定點;如果是動曲線，設(shè)動曲線方程為，當λ∈R時曲線恒過與的交點。舉例來講，在2016年的泰州期末卷中有一道題目為在平面直角坐標系xOy中有橢圓C，它的標準方程為??? ?????，

它的左頂點為A，有一條過原點的不與坐標軸重合的直線與橢圓C相較于P點與Q點，直線PA，QA分別與縱坐標軸y軸相交于M，N點。求證以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點（即與直線PQ的斜率無關(guān)）。這道題屬于動圓過定點問題模型，我們解這道題時需要將動圓的方程列出，這時候我們需要求點M，N的坐標，但M，N點是由PA與QA派生出來的，所以這道題關(guān)鍵是求點P與Q。首先，我們可以分設(shè)參數(shù)k表示直線的斜率和設(shè)參數(shù)表示P點或Q點的坐標，我將示范設(shè)點坐標的方法。第一步，設(shè)動點P的坐標，即設(shè)P（），則Q點可用坐標Q（）表示，。第二步，求解未知量，列出動圓方程。因為P點在橢圓上，所以橢圓方程為，故定點坐標A（-2，0），所以PA

方程可表示，可知PA與y軸交點為M（0，）;QA方程可用，同理可得交點N（0，。以MN為直徑的圓的方程為，結(jié)合，可將圓方程化簡為。第三步，求定點。由直線過原點知，解得，故以MN為直徑的圓過定點（）和（）。

（二）應(yīng)用“由特殊法到一般法”求解

在解決圓錐曲線定點問題且題目中沒有給出這個定點時，可以從一些特殊的情況出發(fā)先尋找到這個定點，再推理證明在一般情況下也成立，這就是又特殊到一般法。運用這種方法解題的步驟為，首先從問題的特殊情況入手，例如，直線的斜率不存在或直線過原點等求出所要求取的定點;其次，探究一般情況;最后，總結(jié)特殊與一般，下結(jié)論。

綜上所述，圓錐曲線過定點問題可以分為“手電筒”問題模型、切點弦恒過定點問題模型、相交弦過定點問題模型與動圓過定點問題模型四種模型，通常可用由參數(shù)法與特殊法到一般法進行求解。

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