通過問題設計助推學生思維發展
——以《解決問題的策略—— 一一列舉》教學為例

陳穎潔

深度思維的課堂，應以問題解決為中心，充滿思維碰撞式對話，生成精彩的結論。由此可見，問題設計質量的優劣直接決定著教學的成功與否，教師一定要高度重視問題設計，并圍繞問題展開課堂，為學生與文本對話、生生對話、師生對話搭建平臺。下面，筆者就以蘇教版小學數學五年級上冊《解決問題的策略——一一列舉》第二課時教學為例，談談如何通過問題設計助推學生思維發展，構建深度思維的數學課堂。

一、優質的問題設計，體現思維的有序

1.定起點——簡單列舉做到有序。

我們在課堂上遇到的數學問題，很多都可以列出算式，然后求出結果。但是也有一些問題，由于找不到計算它們的算式，似乎無從下手。

先對《解決問題的策略——一一列舉》單元進行文本分析。

本單元中的第一課時完成例題1 及相關練習的學習。

例題1：王大叔用22 根1 米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？

例題1 側重感知列舉的基本思考過程和方法，初步積累解決問題的方法。

第二課時完成例題2 及相關練習的學習。

例題2：南山小學舉行小學生足球賽，有4 支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

例題2 側重感知列舉的策略特點，提高運用能力，增強條理性和嚴密性。在列舉時，要做到不重復、不遺漏，關鍵要做到有序地思考，必要時可以先分類再列舉。在列舉出所有的情況后，更需要根據實際情況做出判斷和篩選。

對學生的學情分析：本單元教學用“一一列舉”的策略解決一些簡單的實際問題。在此之前，學生已經學習過用列表整理的策略解決問題，對策略運用的價值已經有了一些初步的體驗和認識。學習這一部分知識的重點是培養學生的有序思維，對于“有序”，在以前的學習和生活中學生的體驗是相當深刻的，早在一年級學習10 以內數的分與合的過程中就已經有了初步體會。隨著教學的深入，這樣的體驗越來越充分。這樣的經驗積累，有助于學生自覺地調用經驗來學習、體會和應用一一列舉這一策略。

教師應該如何設計優質問題呢？

教材中的例題2，最重要的學習目標就是經歷用一一列舉策略解決實際問題的過程，能不遺漏、不重復地列舉出符合要求的所有答案。簡單來說，就是在學生學習過程中要認識到解決問題的策略是什么？為什么要有序？怎樣有序？教師要發掘學習問題，將知識點以問題的形式呈現在學生面前：

（1）例題2 要用什么方法解決？

（2）應按照怎樣的順序進行列舉？

（3）是否列舉出所有場次的比賽？

以上三個問題是這樣讓學生的思維有序展開的：

首先，由于找不到計算例題2 的算式，我們可以將滿足題目要求的對象一個一個列舉出來。就是確定解決例題2 的方法是“一一列舉”的策略。

其次，定起點，我們可以讓列舉做到有效。一一列舉的核心思想是有序，也就是按照一定的順序進行列舉，這樣才能保證列舉不出現重復和遺漏。確定起點是做到有序的關鍵一步，就是先要想好從哪里開始，然后按照一定順序列舉。從紅隊開始，與黃隊、綠隊、藍隊分別比賽一場，一共3 場比賽；再從黃隊開始比，黃隊與紅隊已經賽過一場不用再比，與綠隊、藍隊再賽2 場；同樣再從綠隊開始比，還有藍隊1 場比賽。

呈現的方式可以是列表，也可以是畫圖。

圖1

最后，是否列舉出所有場次的比賽了呢？在列舉中，有些情況是不符合要求的：紅隊與其他三支球隊各比賽一場，就有3 場比賽；一共有4 支球隊，每支球隊與其他三支球隊各比賽一場，一共要進行4×3=12 場比賽。這與題目中的“每兩支球隊比賽一場”就不符了，紅隊與黃隊比賽一場，就是黃隊與紅隊也比賽了一場。因此，12 場比賽中每兩支球隊都多算了一場比賽，所以所得結果還要除以2，即4×3÷2=6 場比賽。在列舉出所有的情況后，需要根據實際情況做出判斷和篩選。

2.先分類——復雜列舉做到有序。

遇到較復雜的問題時，對可能出現的情況要先進行分類，再一一列舉，學生缺乏類似的體驗，有的學生是憑感覺，有的學生對組合后出現的重復情況也沒有足夠的敏感，對不重復的意義停留在表面而不會關注結果的重復，因此需要用優質的問題給學生方法上的指導。

教材課后練習十七第6 題：一張靶紙共三圈，投中內圈得10 環，投中中圈得8 環，投中外圈得6 環。小華投中1 次，可能得多少環？投中2 次呢？

小華投中1 次，可能得到的環數是10 環、8 環或者6 環。投中1 次的簡單列舉，不再贅述。

投中2 次，教師要用問題對學生的學習方法進行指導：你能自己給投中2 次的不同情況分分類，并列舉出所有的可能性嗎？

圖2

小華投中2 次，可能得到的環數是20 環、16環、12 環、18 環或者14 環。

這個課后練習有沒有被學生掌握呢？我們可以把條件投中了2 次，修改成“投了2 次”。分成：都不中、中一次、中二次。前面兩個問題比較簡單，最后一次情況較復雜，需要我們像剛才那樣先分類后再列舉……這個練習題目讓學生在最近發展區內進行思維的升華，需要多次分類后才能完成。教師用優質的問題將學習目標轉化，用問題來促進學生思維的有序分類。

都不中：0 環。

中一次：6+0（0+6）共6 環，8+0（0+8）共8 環，10+0（0+10）共10 環。

中二次：同上圖2。

當問題比較復雜，需要先分類再列舉時，要注意的是分類一定要想清楚共有幾種不同的類別，并且類與類之間不重疊。每一類列舉時要包括所有可能的結果，這樣才能做到不重復、不遺漏。而且分類的標準有很多種，我們還要按照一定的順序來分類。并且列舉完成后，要回頭檢驗，去偽存真。

二、建立數學模型，讓問題設計有過程

1．一一列舉就是數學建模。

一一列舉就是數學建模，是建立數學模型用于解決現實問題的全過程，包括表達、求解、解釋、檢驗等基本過程。通俗地說，數學模型是借用數學的語言講述現實世界的故事；數學建模就是用數學講述生活故事的過程。數學模型思想，是指用數學的語言描述現實世界所依賴的思想，也就是讓數學走出數學的世界，是構建數學與現實世界的聯系橋梁的思想。在數學教學中,滲透數學模型思想，就是針對抽象的數學概念和命題，利用學生可以理解的形象、直觀、具體的實例來說明，通過實例來幫助學生理解抽象的數學內容。在小學數學中,通過一個典型問題的解決，帶動相關問題的解決，由一個到一類，滲透種數學規律的思想，就可以叫做模型思想。

一一列舉策略的應用非常廣泛，它可以幫助我們解決許多看似沒有頭緒、解決不了的問題；我們還可以用一一列舉的策略來發現事物的特征和規律，然后根據這些發現來“建立模型”，進而解決一系列問題。

教材中的“練一練”：小強、小華和小麗是好朋友。如果他們每兩人之間通一次電話，一共要通多少次電話？如果他們之間互相寄一張節日賀卡，一共要寄多少張賀卡？

建立模型的問題設計：互相寄一張節日賀卡與打電話的解決方法一樣嗎？

小強給小華打電話，小強跟小華通話的同時小華跟小強也通了話，所以通電話是沒有方向性的。只要打3 次電話就可以滿足每兩人之間通一次電話。而互寄賀卡時，當小強寄給小華時，這張賀卡最后是屬于小華的，小強沒有拿到賀卡，所以賀卡是有方向性的，要小華寄給小強，小強才能拿到賀卡。因此3個人每人要收到另外兩位同學的賀卡，總共要寄6次。（見圖3）

圖3

在許多列舉的過程中，像剛才“練一練”這一類題型，有些是有方向的，比如寄賀卡、數字的排列，我們要考慮兩種不同的情況；有些是沒有方向的，比如通電話、每兩支球隊比賽一場等，一個與另一個在進行的時候，反過來另一個與之也在進行同樣的事項。建立模型的問題使課堂提問有了思維的過程。

2.用規律模型，使思維前后融通。

剛才的例題2“定起點”，使列舉做到有效。這時才4 個球隊，在畫圖、列表的方法下，我們可以快速地解決“每兩支球隊比賽一場”共比賽幾場的問題。如果是40 支、400 支球隊，這樣的方法就不合適了。我們必須邊列舉、邊找規律，不必把所有的情況都列舉出來，可以根據前面所找到的規律來列式解答。

建立模型的問題設計：第一支球隊要與其他球隊比賽多少場？

如果有4 支球隊，那么第一支球隊要與其他三支球隊比賽，一共要比3 場；第二支球隊比賽2場、第三支球隊比賽1 場。算式就是3+2+1。如果有40 支球隊，那么第一支球隊要與其他39 支球隊比賽39 場，根據等差數列就是39+38+37+……2+1=（39+1）×39÷2=780（場）。

像上面這樣的球隊比賽、通電話的次數是沒有方向性的，一共有n 個球隊，第一個球隊與其他球隊要進行（n-1）場比賽；一個球隊與另一個球隊進行比賽時，后者與前者也在進行比賽，所以多算了一次，就要除以2。即n 個球隊，每兩個球隊比賽一場，一共要進行n×（n-1）÷2 場比賽。

像寄賀卡、排數字等這種有方向性的，即前者與后者的組合和后者與前者的組合結果不同時，所得結果不需要除以2。比如30 個同學互相寄一張賀卡，一共要寄多少張賀卡呢？第一個同學要寄給其他29 個同學，30 個人每人都是寄出29 張，所以一共要寄30×29=870（張）。即n 個同學互相寄一張賀卡，一共要寄n×（n-1）張。

碰到數據比較大的一一列舉的實際問題，我們可以先用比較小的數據來舉例，然后邊舉例、邊找規律，不必、也沒有可能把大數據一一列舉。這時我們就可以用小數據所找到的規律模型，使思維前后融通。在這中間，找準體現規律的模型問題很重要。因為這個關鍵性的問題為確立模型、找到相應的規律，闡述了詳細的過程，由點及面、由少到多地完整體現了思維的過程。

教師的責任是點燃學生的思維火把, 而不是澆滅學生的思維火花。教師要善于利用問題，讓學生最大限度地產出成果而不是復原結論。所以，優質問題是教學目標的轉化,是教學內容的提煉,是學習評價的依據。優質問題設計的基本特征應該是“在學生最近發展區內,引發認知沖突,激發思維碰撞”。

欄目介紹

【教學策略】透視教學現象，探尋教學方法，求索教學規律。

【名師課堂】展示經典課例，領略名家風采；推介成功教例，凸顯不同風格。

【教案精選】突出自身教學特點，融合課程理念，讓讀者有所得，有所思。

【課堂再現】緊扣課標理念，注重實踐過程，強調可操作性。

【磨課手記】典型課例的教學反思，一課多教的案例剖析。

【感悟名師】感悟名師教學的精彩設計，領悟課標理念的靈活體現。

【教例反思】探究教學設計的成敗得失，反省教學過程的點點滴滴。

【教學一得】教研活動中形成的點滴心得或隨筆。