求“同”思“變
——《圓》（整理與復習）課后練習

凌 佳

【教學內容】

人教版六年級上冊第五單元課后練習。

【習題設計】

習題呈現（第一組題）

有一個半徑為2 厘米的圓片。

解：最外邊路線即為圓心經過的路程。

得出結論：圓心經過的路程=封閉圖形周長+動圓周長。

【設計意圖：本組習題設計從圓沿長方形滾動到沿正三角形和一般三角形等封閉圖形滾動，將同一問題情境分成三種不同情況讓學生經歷解決問題的過程。當圓沿著正三角形滾動一周時，頂點處圓心經過的路線還是弧線，但所對的圓心角不再是90 度。此處設計沿正三角形滾動可以引發學生重新思考繞頂點滾動問題。當圓沿著一般三角形滾動時，因有先前的思考做鋪墊，多數學生不難在對比和感悟中找尋到問題解決的策略，即“畫出示意圖，強化空間觀念”，從而靈活地應對不同情況下的同一個問題。】

習題呈現（第二題組）

有一個圓片，半徑為2 厘米。

解：外面的區域即為圓滾動一周掃過的面積。

得出結論：圓掃過的面積=封閉圖形周長×圓直徑+圓面積（以動圓直徑為半徑的圓）或圓掃過的面積=圓心經過的路程×動圓直徑。

【設計意圖：讓學生先經歷大膽猜想圓掃過的面積可能與什么有關，接著直觀感受用實物圓在封閉圖形外滾動一周，最后嘗試動手畫出示意圖，從而驗證自己的猜想。在知識形成的過程中培養了學生思維的深刻性。】

習題呈現（第三題組）

在長12cm、寬10cm 的長方形內，一個半徑為2cm 的圓，沿這個長方形內壁無滑動地滾動一周。如圖所示：

①求圓心經過的路程是多少？

②圓掃過的面積又是多少呢？

解①：圖中里面長方形的周長即為圓在長方形里面滾動時圓心經過的路程。

得出結論：圓在長方形內滾動時，圓心經過的路程=長方形周長-圓直徑×4。

解②：如下圖。

得出結論：圓掃過的面積=大長方形面積-小長方形面積-內圓外方相差部分面積。

【設計意圖：通過對比，讓學生感知圓在長方形外滾動時既有沿著直線滾動又有繞著頂點滾動，而圓在長方形里面滾動時只有沿著直線滾動的情況，引導學生從不同視角思考同一問題。】

【習題設計分析】

本習題適合放在《圓》（整理與復習）課后使用。通過變式題，將圓在不同封閉圖形外滾動時圓心經過的路程的計算方法進行統一。通過對比圓在長方形外滾動和圓在長方形內滾動這兩種不同情況，提煉圓在長方形內滾動時圓心經過路線和圓掃過面積的計算方法。習題功能在于，一方面考查學生對周長和面積意義的理解，幫助學生鞏固圓周長及面積的計算方法；另一方面，通過圖形形狀變化與解決策略不變的思辨，以及圖形形狀不變而圓的位置改變，引導學生溝通圓在不同平面圖形外滾動時的內在聯系，體會圓在同一個圖形內外滾動時的本質區別。

【設計感悟反思】

數學習題教學，不僅要整體把握知識本身，更要深度挖掘習題教學過程中的生長點。本習題設計以圓滾動過程中圓心經過的路程和圓掃過的面積為主線，通過封閉圖形由長方形、正三角形到一般三角形的不斷變化以及圓在同一個圖形內、外滾動情況的不同，引導學生靜下心來解讀習題，理解設計中每個習題的編排意圖，感悟每個習題的作用和目標，真正走進習題教學。本組習題將教學的著力點放在“抓住知識‘生長點’，激活數學思維”上。

1.抓住知識“生長點”，培養合情推理能力。

合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等方法推斷某些結論。

例如，學生在探究“沿長方形外滾動一周，圓心經過的路程”時，根據圓沿直線滾動的經驗發現：圓沿長方形貼邊滾時，圓心經過的路線是直線。但是，圓繞頂點滾動時圓心的路線還是直線嗎？此處即為學生的易錯點。抓住學生的易錯點，引導學生把“圓繞頂點滾動時圓心經過的路線”問題轉化成“以封閉圖形頂點為定點，到該定點距離為動圓半徑的路線”問題，有利于學生猜想圓心經過的路線。根據“以定點為圓心，定長為半徑”的作圓方法，學生合情推理出圓繞頂點滾動時圓心經過路線必定是圓周長的一部分。

2.抓住知識“生長點”，豐富空間觀念。

在習題教學中，教師應該善于發現學生認知的“學困點”和“易錯點”。設計有效的提問，促進學生思考，采用畫示意圖的方式，豐富學生的空間觀念。

例如，教學“圓沿著長方形外滾動”這一習題時，讓學生思考“圓繞長方形四個頂點旋轉時圓心經過的路線為什么剛好圍成一個圓”，引導學生嘗試畫出繞其中一個頂點旋轉時圓心經過的路線示意圖。通過畫示意圖的方式，我們發現貼邊滾結束后經過頂點的直徑與長方形的長垂直，繞頂點旋轉后該直徑又與長方形的寬垂直，繞一個頂點旋轉了90°，四個頂點即360°，所以剛好圍成一個圓。有效抓住了知識的生長點，讓學生知其然，更知其所以然。

3.抓住知識“生長點”，提升概括能力。

有了圓在長方形外滾動的經驗，探究圓在長方形里面滾動時，學生容易產生圓心經過的路線也是由直線和曲線組成以及圓掃過的面積只與封閉圖形面積和動圓面積有關的認識偏差。通過相互辯駁，明晰學生的易錯點，將學生思維引向深入，在對比、體驗和感悟過程中，提升了學生的概括能力。

深度挖掘，讓學生在有層次的練習中有所思有所悟有所得；整體把握，激活數學思維的同時也能讓枯燥無味的數學知識自然生長。