從課本一道習題說數學教學

曾小紅

近幾年的中考題，題目大多源自課本，從課本習題中尋找命題生長點和拓展點，形成新穎、靈活的中考題。因此，重視課本習題的拓展、探究及應用是具有重要意義的。下面筆者舉一例談談習題的教學設想。

人教版八年級下冊第十九章《一次函數》第109 頁13 題：一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始4 min 內只進水不出水，在隨后的8 min 內既進水又出水，每分的進水量和出水量是兩個常數。容器內的水量y(單位：L)與時間x(單位：min)之間的關系如圖所示。

(1)當0臆x臆4 時，求y 關于x 的函數解析式。

(2)當4約x臆12 時，求y 關于x 的函數解析式。

(3)每分進水、出水各多少升？

本題是分段函數應用題，是課本重點介紹的一種題型，對培養學生的應用意識和推理能力有重要價值。從分析題意可知：本題要考查的知識背景是一次函數、一元一次方程、二元一次方程組，涉及待定系數法求函數解析式、解方程(組)等知識。涉及的數學思想方法有數形結合思想和分類討論思想。這是一道好題，但教學實踐發現，如果講完或練完本題就此結束此題教學，那么學生在碰到類似問題時依然不會解決，其原因是學生的思維沒有得到發展，具體說就是思維的靈活性、深刻性、廣闊性、敏捷性沒有得到發展，因而學生不能做到舉一反三。數學思維培養的載體就是數學問題，抓住數學問題大做文章可以培養和發展思維的品質。為此在全面分析和解決本題之后，筆者主要做了以下變式和拓展。

變式一：變學生熟悉的題材背景，選擇與計費有關的問題

題1：某移動公司采用分段計費的方法來計算話費，月通話時間x(分鐘)與相應話費y(元)之間的函數圖象如圖1 所示：

(1)月通話為100 分鐘時，應交話費______元；

(2)當x臆100 時，求______與______之間的函數關系式；

(3)月通話為280 分鐘時，應交話費______元？

圖1

題2：某市電力公司為鼓勵市民節約用電，采取按月用電量分段收費辦法，若某戶居民每月應交電費y(元)與用電量x(度)的函數圖象是一條折線，如圖2 所示，根據圖象解下列問題：

圖2

(1)分別寫出當0臆x臆100 和x躍100 時，y 與x 的函數關系式；

(2)利用函數關系式，說明電力公司采取的收費標準；

(3)若該用戶某月用電62 度，則應繳費多少元？若該用戶某月繳費105 元時，則該用戶該月用了多少度電？

計費問題涉及面比較廣，除了電話費、電費，還可以是水費、出租車收費、銷售費用等，這些問題都是學生身邊熟悉的問題，對激發學生求知欲和探究欲有很多的促進作用。課標強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

變式二：變抽象的題材背景，選擇與工程有關的問題

題3：為改造南湖景觀，甲、乙兩支清淤泥隊同時開始清理南湖淤泥，一段時間后，乙隊被調往別處，甲隊又用了3 小時完成了剩余的清淤任務，已知甲隊每小時的清淤量保持不變，乙隊每小時清淤50 噸，甲、乙兩隊在此路段的清淤總量y(噸)與清淤時間x(時)之間的函數圖象如圖3 所示。

圖3

(1)乙隊調離時，甲、乙兩隊已完成的清淤總量為______噸。

(2)求此次任務的清淤總量m。

(3)求乙隊調離后y 與x 之間的函數關系式。

課標明確數學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創造力等方面有著獨特的作用，選擇此類抽象的問題正是基于此要求。同樣的函數圖像，稍稍改變數據，還可以把此問題變成與行程有關系的問題。數學是相通的，卻又變化萬千。相通是因為同一知識點，考查同樣的思想方法和能力要求，變化萬千是數據可變、題材背景可變。培養學生多數學的愛好就需要教師不斷地挖掘學生身邊的事例，讓學生感覺到數學就在身邊，數學可以為生活服務。

以上兩個變式都沒有改變圖像特點，在考查要求不變的基礎上，如果變換函數圖像，則可以變式的題目更多，甚至可以是多段函數等(本文僅就兩段函數舉例說明)。

變式三：變函數圖像，選擇更靈活的題材

題4：據有關資料顯示，2017 年底廣西農村貧困人口為267 萬人，為響應習總書記全面脫貧的號召，實現到2020 年我國現行標準下農村貧困人口脫貧的目標，自治區政府分兩階段實施“精準扶貧”攻堅戰，農村貧困人數呈逐漸減少趨勢。預計貧困人數與時間變化關系如圖4 所示(提示：2017 年底至2020 年底共36 個月)。

請你根據以上材料，結合圖像解決以下問題：

(1)當0臆x臆10 時，求y 與x 的函數關系式；

(2) 按照第10 個月后的脫貧變化趨勢，請通過計算判斷到2020 年底廣西能否實現完全脫貧的計劃？

(1)在(2)的條件下，若能完全脫貧，請求出在第幾個月可以脫貧；若不能完全脫貧，從第21 個月開始月平均脫貧人數至少要增加多少才能保證在2020 年底前完全脫貧？

圖4

如何用好教好課本習題，每一位教師都有自己的看法和做法，正所謂“仁者見仁智者見智”。通過習題教學是培養學生的思維和能力的一種有效途徑。如何讓學生遠離題海訓練又能培養數學思維、提高解題能力，舉一反三，通一而領全局，是每一位數學教師的重要責任。