基于隨機波動率條件下三叉樹模型的可轉換債券定價研究

諸興鵬

摘要：如何對可轉換債券進行定價是債券發行人及投資者都關注的問題。目前將隨機波動率與三叉樹模型相結合，對可贖回可回售可轉換債券進行定價的研究還很少。本文將Heston模型的隨機波動率路徑與三叉樹模型相結合，推導出隨機波動率條件下三叉樹模型在可贖回可回售可轉換債券中的定價過程，再以鼎信轉債數據進行實證分析。結果表明，隨機波動率條件下的三叉樹模型更貼近實際，其計算精度高于傳統的定價模型。

關鍵詞：Heston模型 ?三叉樹模型 ?可轉換債券 ?定價方法

隨著中國資本市場的發展，上市公司融資手段逐漸豐富，目前主要通過增資擴股和發行企業債券進行再融資。但目前股票市場相對低迷，經濟下行壓力增加，投資者對新股的認購積極性有所下降;若是購買債券，可能又擔心違約風險。在此情況下，上市公司通過發行新股和企業債券進行融資的難度有所增加?？赊D換債券作為一種兼具股性與債性的混合金融產品，很適合作為當前形勢下的再融資工具。

可轉換債券是由公司發行的債券，債券持有人有權在未來某些時刻將債券轉換為公司股票。因此，可轉換債券也可被視為一種內嵌股票看漲期權的金融產品。為防止公司股票突然暴漲導致可轉換債券的股性收益過大，進而增加公司融資成本，債券發行人在發行可轉換債券時大多會內嵌一個贖回權，即債券發行人有權在某些條件下按事先約定的價格向債券持有人購買其所持有的債券。此外，為更好地吸引投資者，還可將債券內嵌一個回售權，即債券持有人有權在某些條件下按照約定的價格向債券發行人出售其所持有的債券，從而將投資者的最大損失鎖定在一定范圍內。無論是對于發行可轉換債券進行融資的企業，還是對于那些要對可轉換債券進行合理估值并以此進行投資及決策的投資者來說，債券發行價格都至關重要。因此，對于可轉換債券定價進行研究是非常必要的。

文獻綜述

在可轉換債券定價方面，國內外已有很多研究。JohnC.Hull（2014）假設股票價格服從幾何布朗運動，將股票價格為零視作公司違約，公司違約概率為 ，以二叉樹方法對債券進行定價。Ingersoll（1977）提出一種以Morton模型為基礎的可轉換債券定價方法，將公司股權、可轉換債券及其他與資產價值相關的債券作為資產方面的待定權益。當資產價值超出負債價值時，債券持有人才能得到全部付款，再運用Morton模型得出可轉換債券的價值。在國內學者中，蔣志遠、張順明、李江峰（2013）對付息的可贖回可回售可轉換債券進行研究，以基于單因子無套利模型的擴展Black-Scholes模型（以下“B-S模型”）進行定價研究，并對確認的各參數進行彈性分析。在研究方法上，PhelimBoyle（1986）以上升和下跌對稱為前提，對二叉樹模型進行改進得到三叉樹模型，并進行數值推導。國內學者多運用隨機波動率模型和三叉樹模型進行期權研究，由于三叉樹模型比二叉樹模型更符合實際，節點也更多，計算精度會高于二叉樹模型。宮文秀、高凌云（2016）運用三叉樹模型推導出以金融期權本身作為標的的復合期權定價模型，并對模型相關變量進行敏感性分析。因此，三叉樹模型適用于對一些較為復雜的期權進行定價。但目前將隨機波動率與三叉樹模型結合起來，并對可轉換債券進行定價的研究還很少，多是分別對隨機波動率與三叉樹方法的單一研究。武斌、王玉蘭（2016）在隨機波動率和隨機利率條件下通過風險中性假設對歐式期權進行定價。何偉康（2017）將波動率不確定性與B-S模型相結合，得出基于B-S模型的可轉換債券內嵌看漲期權的解析值。王力（2018）將巨災債券與可轉換債券相結合，在二叉樹模型的基礎上研究建立了帶發行人破產條件的巨災可轉換債券定價模型。謝百帥、張衛國、廖萍康、陳雅娜（2013）在三叉樹模型的基礎上研究建立了帶破產違約風險的可轉換債券定價模型，并比較了有效差分法與三叉樹法在可轉換債券定價方面的效果。研究發現，三叉樹法在定價效率方面更有優勢。由此可見，對于可轉換債券的研究不僅有利于上市公司融資，還有利于中國金融市場的發展。

可贖回可回售可轉換債券模型設計

（一）可贖回可回售可轉換債券的定價機制

在進行可轉換債券定價時，要考慮三個參數：贖回價格 、轉換價格 、回售價格 。此外，下文中T為債券期限， 為股票價格，M為轉股數。

可贖回可回售可轉換債券是一個內嵌贖回權、回售權、股票看漲期權的混合金融產品。贖回權基于債券發行人可按約定價格 向債券持有人購買債券的約定，債券持有人持有的債券價值為 ?；厥蹤嘀競钟腥丝砂醇s定價格 向債券發行人出售債券，債券持有人持有的債券價值為 。內嵌的股票看漲期權是指當股票價格高于轉換價格時，債券持有人將可轉換債券全部轉換為股票，債券價值為 。同時，考慮贖回權與回售權，當股票價格上漲至 時，債券價值為 ;當股票價格上漲至 時，債券價值為 ;當 ，債券價值等于可轉換債券的債性價值;當股票價格下跌至 時，若債券持有人將持有的債券全部出售給發行人，則債券價值鎖定為 。

（二）隨機波動率條件下的三叉樹模型

傳統的B-S模型假設波動率為常數，而實際上波動率是隨時間變化的函數。J.C.Hull和A.White將B-S的方差率改為期權期限內方差率的均值，并證明當波動率隨機并與資產價格無關時，歐式期權價格等于B-S模型價格以平均方差率在期權期限內分布上的積分，并給出了級數形式的近似解，這也意味著期權期限內的平均方差率依舊服從風險中性假設，可將平均方差率視為標的資產在風險中性假設中隨時間變化的隨機波動率。Heston則給出了隨機波動率模型的解析結果。本文所用隨機波動率路徑即為Heston模型的波動率路徑。

Heston模型中波動率滿足：

Euler-Maruyama離散化處理結果為：

其中， 為標的資產的隨機波動率， 為波動率的均值回歸速度， 為波動率均值， 為波動率的波動率， 與 為標準布朗運動， 為 與 的相關系數。

可轉換債券的定價過程可視為對一個美式看漲期權的定價。目前，學界對美式看漲期權的定價主要通過擴展的B-S模型和二叉樹模型實現。本文所用的三叉樹模型是對二叉樹模型的一種擴展。在二叉樹模型中，樹形的每個節點上資產價格的變化僅為上升和下降兩種，而實際上資產價格的變化還會有不變的情形。三叉樹模型就是考慮在資產價格不變的情形下，將未來資產價格變化分為上升、不變、下降三種情況，這樣劃分將更加符合實際。此外，在考慮 為時間函數的這一更符合實際的情形下，使用三叉樹模型來計算可以使計算結果更為精確。

在使用隨機波動率條件下的三叉樹模型進行計算時，首先假設股票價格服從幾何布朗運動。在每段時間 后，價格上漲、價格不變、價格下跌的概率分別為 ，上漲幅度和下跌幅度分別為 和 。

參數 要確保波動率相吻合，隨機波動率是關于時間的函數，確認隨機波動率需要進行大量計算。因此，本文運用蒙特卡羅模擬法確定隨機波動率 。 蒙特卡羅估計為：

將方程組求解結果利用泰勒展開式進行化簡，其結果為：

三叉樹模型計算結果的精確性依賴于步數。以步數和上漲下跌幅度生成樹的節點，從樹尾倒推至樹的起點，在每一節點上都需要計算行權價值與繼續持有的價值?？哨H回可回售可轉換期權在每個節點上除計算轉換價值與持有價值外，還需判斷是否已符合贖回和回售條件。為更詳細地說明定價過程，本文在此考慮一個簡單的兩步三叉樹過程：

令可轉換債券面值為100，票面利率為 ，無風險利率為r，年限為兩年，每一步代表1年。將可轉換債券視為一個美式看漲期權，則在三叉樹每一個節點上都需要考慮股票價格 與贖回價格 、轉換價格 、回售價格 的關系。假設： ，由于考慮付息因素，則在每個節點上，以債券不被轉換為前提來計算債券價值，未來債券所需支付券息的貼現值都應被考慮在內。例如，當價格在第一步上漲至 時，在這一時點上的債券價值為 ，這一價值低于 ，債券不會被贖回;但當這一時點上的股票價格高于贖回價格、轉換后的價值大于債券不被轉換的價值時，則債券將被強制贖回，這一時點上的價值將是 。最后，對樹形結構進行倒推得到債券價格K，再將節點上的價值與券息以無風險利率r進行貼現。

實證分析

本文分別選取鼎信通訊在2016年10月11日至2018年12月19日期間每個交易日的收盤價，以及鼎信轉債在2018年10月22日至2018年12月19日期間每個交易日的收盤價，對隨機波動率條件下的三叉樹模型在可轉換債券上的定價進行實證分析。

為說明波動率在實務中是隨時間變化的函數，本文選擇隨機波動率來描述股票的波動性而非假定波動率為常數，這樣更具合理性，再運用SPSS軟件對鼎信通訊股票價格及其對數收益率進行描述性統計分析。圖1是鼎信通訊股價、對數收益率的正態Q-Q圖以及顯示正態曲線的直方圖。由圖1可見，鼎信通訊股價和對數收益率存在明顯的尖峰厚尾特征。圖2為對鼎信通訊股價與對數收益率進行K-S檢驗后得到的結果。結果顯示，鼎信通訊股價與對數收益率的雙側顯著性均小于0.05，表明其分布不服從正態分布。因此，常數波動率無法充分刻畫鼎信通訊的動態性，使用隨機波動率可以更好地進行定價研究。

本文以連續計算復利的上海銀行間同業拆借利率（Shibor）作為無風險利率。對于隨機波動率 選擇M=2000的蒙特卡羅模擬估計結果。模型所用參數見表1。

在模型中，債券期限為5年。為方便計算，以五步三叉樹模型進行定價。由于模型計算結果是完整的5個年度的可轉換債券價格，而鼎信轉債上市已有一段時間，其價值并不是完整的5個年度價值，因此還需對鼎信轉債的價格進行修正。以鼎信轉債價格加上債券發行日現值與當日現值的差額作為債券實際價值，再分別以B-S模型、二叉樹模型和隨機波動率條件下的三叉樹模型對鼎信轉債進行定價。定價結果見表2（考慮到篇幅，本文僅展示2018年10月22日至2018年11月26日的部分數據）。

均方誤差可反映估計量與被估計量之間的差異度，是評價點估計的最一般標準。均方誤差越小，代表估計量與被估計量之間的差異度越小。本文在此通過比較運用不同模型計算所得價格的均方誤差，得到可靠性最強的模型價格（見表3）。

由表3可見，本文運用隨機波動率條件下的三叉樹模型計算所得可轉換債券價格的均方誤差為0.915409，分別小于二叉樹模型下的均方誤差1.584981和B-S模型下的均方誤差1.094625。這說明運用隨機波動率條件下的三叉樹模型對可贖回可回售可轉換債券進行定價更符合實際，其測量精度要高于傳統的定價模型。

結論

本文通過將隨機波動率與三叉樹模型相結合，對可贖回可回售可轉換債券進行定價，并以鼎信轉債數據進行實證分析，發現其定價結果更加精確，這也證明了這一定價方法優于傳統的二叉樹模型和B-S模型。

可轉換債券兼具股性與債性特征，是一種有效的再融資工具，具有較大的發展空間。但上市公司在發行可轉換債券進行再融資時，應注意發行規模及發行時機的選擇。張松（2018）通過對37家上市公司發行可轉換債券后一段時間內股價變動的研究發現，在中國、美國、英國等金融監管體系健全的國家，可轉換債券的發行對公司股價具有顯著的負向影響，且發行規模越大，對二級市場的沖擊越大，股價下降幅度也越大。因此，上市公司在選擇發行可轉換債券進行再融資時，應選擇合理的發行規模和發行時機。一般來說，應選擇在股票市場上漲階段發行可轉換債券。對于投資者來說，可在股市低迷的情況下利用本文所述模型對可轉換債券進行合理估值，從而挑選出價值被嚴重低估的可轉換債券。

作者單位：新疆財經大學金融學院

責任編輯：周舟? 印穎

參考文獻

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