以基本圖形為載體，培養學生直觀想象

福建省廈門市金雞亭中學 郭小霞

核心素養指的是人適應未來社會生存和發展所需要的必備品格、關鍵能力，數學核心素養就是在數學學科中的必備品格與關鍵能力，這對于學生學習至關重要。高中數學課標中指出數學核心素養包含六個部分：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。直觀想象在初中教學階段主要體現在空間觀念和幾何直觀的培養。本文筆者以基本圖形為載體，淺談如何培養學生的空間觀念和幾何直觀，進一步發展學生的直觀想象。

一、課標中有關空間觀念和幾何直觀的闡述和要求

數學課程標準（2011 版）中指出：空間觀念是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。

幾何直觀主要指的是利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

發展直觀想象，落實為空間觀念與幾何直觀的測量目標有：（1）能根據條件畫簡單平面圖形；（2）理解幾何圖形的運動和變化；（3）能從較復雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素之間的關系；（4）運用簡單圖形的性質揭示復雜圖形的性質。

二、借助基本圖形，發展學生直觀想象

1.基本圖形的認識和教學

（1）什么是基本圖形

在幾何分析中，組成一個幾何問題的圖形的最簡單、最基本但又具有特定性質，能明確地闡明其應用條件和應用方法的圖形，稱為基本圖形。基本圖形蘊含在重要幾何定理中，每個幾何定理都有三種語言，包括文字語言、圖形語言和符號語言。我們還可以將常見幾何圖形的疊加約定為基本圖形，如一線三等角等。

（2）如何教學基本圖形

我們可以圍繞某個知識點形成系列基本圖組，對于每個基本圖形，我們可以按照以下脈絡進行研究：基本圖形→圖形性質→位置特征→應用條件→應用方法。

2.以基本圖形為載體，滲透分析法解決問題

怎樣在一道幾何綜合題中找到基本圖形的應用條件和應用方法，即什么情況下會想到用哪個基本圖形，怎么用這個基本圖形？這是技能到能力轉化的關鍵，也就是思維內化。我們有兩種解決問題的方式：由因導果綜合法和執果索因分析法。我們要用“你是怎么想？”“為什么這么想？”“怎么會想到？”等問題進一步引導學生提高解決問題的思維品質，達到思維內化。

3.利用基本圖形尋找添加輔助線的方法

用基本圖形解決輔助線添加問題，我們的著眼點不再聚焦在作為圖形的局部的“線”上，而是著眼到一個完整的“圖形”上。添加輔助線不僅僅是一個添線問題，更是一個補形的問題，添加輔助線的實質是基本圖形完整化的結果。

三、提高學生直觀想象的有效措施

提高學生直觀想象，就要提高學生的空間觀念和幾何直觀，教學中應注重以下三方面：

1.教學中應注重對重要定理進行總結

在探究歸納完定理時，要注重對定理本身進行深入的分析和總結：

延續性護理能滿足健康照護需求，有利于病情恢復[2]，提升了患者的滿意度，也提升了患者對醫護人員的信任度，增加了醫患之間的互動，對于患者病情的恢復起到一定的作用，對于患者疾病的后續護理有莫大的幫助[3]。延續性護理作為臨床醫療護理工作的重要延伸，體現了醫護人員對患者的人性化服務[4]。

（1）注重幾何定理的三種語言（文字、符號和圖形）之間的相互轉化，將定理的條件標在圖形中，將知識進行圖示化和可視化，同時也要將這些定理及圖形進行模型化和形象化，如同位角“F”型，內錯角“Z”型，同旁內角“U”型，角平分線“雞爪”型，三角形的外角“小旗幟”型，等腰三角形三線合一“屋頂”型，線段的垂直平分線性質“小雨傘”型，角平分線的性質“紙飛機”型等，可以讓學生來抽象命名，加深印象，又增加了課堂趣味。

（2）注重引導學生分析定理的條件和結論，分析定理的源與流，了解定理的使用范圍、注意事項和用途，什么時候可以使用這個定理，使用這個定理可以解決什么問題等等。如三角形的中位線定理，從定理的結論我們可以知道，這個定理的用途是證明線段平行或線段二倍（或一半）關系。從定理的題設我們可以知道，“三角形”和“中位線”這兩個條件是缺一不可的，因此在碰到要求證線段平行或線段二倍（或一半）關系的幾何題時，我們常見的輔助線做法有：①題目中有涉及中點連線但沒有三角形的情況，這時要連接三角形的邊，構造三角形。②題目中有涉及三角形、中點，但沒有中位線,這時我們要作中點的連線，構造中位線。

2.教學中應注重對重要例（習）題進行歸納

在講完例題或是做完習題后，應重視引導學生對一題或一組題從以下4 個方面進行歸納：

（1）注重基本模型的提煉

在教學中，注重讓學生總結例題和練習中的基本模型，如“一線三等角”的基本模型，能更好地解決全等三角形乃至后續要學習的相似三角形的證明和計算問題。直角三角形及斜邊的高所分的兩個直角三角形所構成的子母型相似的基本圖形等，都是初中幾何證明和計算常考的內容，通過題組的形式，讓學生對基本圖形進行提煉和歸納，有利于學生更敏銳地找到解題方向。

（2）注重基本思路的引導

在解決四邊形問題時候，我們經常引導學生將四邊形的問題通過連接對角線等轉化為三角形問題，這個轉化學生較為熟悉，也掌握得較好，而有時候我們也會將三角形問題轉化為四邊形來解決，而這類輔助線做法學生較為陌生，因此，要及時歸納這類問題的基本思路，有利于學生更好地理解和靈活應用。

在《平行四邊形》這章中，證明三角形中位線定理時，我們是通過構造平行四邊形，將三角形的問題轉化為平行四邊形的問題，利用平行四邊形的性質得到三角形中位線定理；證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，我們是將直角三角形的問題轉化為矩形問題，利用矩形性質進行證明。教師應結合這兩個定理的證明，注重引導學生去歸納做這類輔助線的思路。讓學生觀察這兩題的證明方法，體會輔助線做法，并以問題加以引導：“倍長中位線和倍長中線的共同特征是什么？”（倍長和中點）“做這類輔助線有什么好處？”（可得到全等三角形和平行四邊形）“什么時候要考慮做這種輔助線？”讓學生去總結歸納，發現其中的規律，化未知為已知，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力。

（3）注重基本結論的聯想

在講評例題和練習時，應注重結論的發散聯想，了解可得到這個結論的多種途徑，再挑選適當的路徑求解或證明。如《平行四邊形》這一章涉及線段二倍（或一半）關系的定理有3 條，可以引導學生歸納（如圖1）。又如要證明矩形，常常要用證明90°，要注重90°的聯想，如圖2。

（4）注重基本載體的挖掘

初中幾何中某些特殊的圖形具有獨特的性質，往往利用這些性質可以便于證明和求解，因此要注重對基本載體的挖掘。如正方形是最特殊的平行四邊形，它具有一切平行四邊形所具有的性質，常以正方形為載體證明三角形全等問題，可以以題組的形式引導學生去挖掘正方形這個載體為全等三角形的證明提供了哪些線段相等，哪些角相等。

3.教學中應注重學生作圖能力的培養

在教學實踐中，筆者發現很多中等或中下的孩子能從較為復雜的圖形中分離出幾個基本圖形，但是還不會找到它們之間的關系，只是從局部看這些基本模型，把題目隔開間斷碎片化。筆者嘗試讓學生根據題意重新作圖，在慢慢畫圖的過程中找出基本圖形及基本圖形之間的聯系，逐步將這些基本模型重組和串聯起來。因此，在初中幾何教學過程中，還應注重學生作圖能力的培養，在講例題或習題時，有意識地將圖形去掉，讓學生根據題意畫圖，既能加深學生對題意的理解，又能更好地分離出基本圖形，通過基本圖形把題目串聯起來，發現基本圖形之間的聯系，從全局看問題，更完整、更全面地理解題目。在平時教學中，提倡讓孩子把新學的基本圖形納入之前的基本圖形題庫中，進行組合編題，提高學生的興趣和直觀想象能力。

新課程標準在“圖形與幾何”方面提出應注重發展學生的空間觀念和幾何直觀，提高學生的直觀想象，從復雜圖形中分離出基本圖形，以基本圖形為載體抓住本質和重點，正確提取和重組，從而提高學生的識圖和畫圖能力，進而提高直觀想象能力。