學生“一題多錯”的診評與教學跟進
——從一個學生的3次訂正說起

☉江蘇省海安市海陵中學 劉 生

教學即研究，某天在課堂上安排一個班級“中位數”水平的女學生上臺講一道習題，結果她連續3次都出錯，筆者課后針對她的這3次錯誤進行了教學思考，課后再次找這個學生進行了有針對性的輔導，取得了較好的教學效果.本文就從這個學生的3次訂正說起，并提出一些教學建議，供研討.

一、從學生的3次訂正說起

圖1

習題：（某單元測試卷第18題）如圖1，在△ABC中，∠A=42°，∠B和∠C的三等分線分別交于點D、E，則∠BDC等于___________.

教學記錄：考慮到這道習題前期教學過程中已遇到多次，就安排了一名班級“中位數”水平的女學生上臺講解思路.

第1次錯誤，她直接寫出一個錯誤答案84°，我追問：“你怎么這么快就得到了答案？”她趕快說“好像錯了”，然后說錯記成一個什么“兩倍角”的基本圖形.接著她開始訂正，出現第2次錯誤，想當然認為∠ABC、∠ACB是相等的，進而默認∠ABD=∠DBE=∠EBC=∠ACD=∠DCE=∠ECB，過程再次出錯.第3次訂正時，她的思路貫通了，將“∠DBC=∠DCB”視為整體處理，但列算式時，沒有用規范的推理語句，運算又出錯.

簡評：分析這名學生的幾次錯誤.第1次錯誤，屬于基本圖形掌握不扎實，隨意套用模型，說明該生讀題、審題不清，誤認為是“兩倍角的基本圖形”“∠ABC=∠ACB”，現在很多學生都存在讀題粗糙的現象，要解決，首先要讓學生認識到自己的問題，再從動嘴、動手、動腦三方面解決.

第2次錯誤，屬于審題不清，這是很多學生解這道題時存在的問題，似乎認為∠ABC和∠ACB相等這樣的特殊情況可以代替一般情形，實則不然，提醒學生要學會“正確聯想”.解題時會聯想，這是這名學生值得表揚的地方，但要根據實際題目去聯想，而不是憑借頭腦中的“固有經驗”胡思亂想，如“兩倍角”的基本圖形的解題方法可以應用于“三倍角”的圖形，但不能直接誤認為是“兩倍角”的基本圖形.

第3次錯誤，對幾何語言的規范性掌握不好，沒有進行規范的書寫和幾何推理，按步驟去計算，忽略這里面的“整體”思想，造成過程混亂.這提醒我們，在幾何教學中，要重視數學語言表達能力和運算能力的培養.這是一名中等生，她身上暴露出來的問題相信也是學生中普遍存在的問題，即數學語言表達能力和運算能力欠缺，課上、課后要讓學生多說、多練，尤其是七年級的學生，剛剛接觸幾何，邏輯思維能力和數學表達能力都在培養階段，還有很大的提升空間.

二、對該類學生的教學跟進

為了更好地做好教學應對，我們針對這類學生的“典型癥狀”，給出如下的解題教學微設計.

例1如圖2，在△ABC中，∠A=42°，∠B和∠C的平分線交于點E，則∠BEC等于______.

設計意圖：回憶基本圖形，要求學生寫出具體的推導過程，建立∠BEC與∠A的關系.

變式1：如圖3，在△ABC中，∠A=42°，∠B和∠C的三等分線分別交于點D、E，則∠BEC等于______.

圖2

圖3

練習1：如圖3，在△ABC中，，則∠BEC等于______.（用含n的式子表示）

設計意圖：從角平分線、三等分線中抽象出模型，檢驗學生對整體思想的把握.

變式2：回歸原題，略.

教學思路：從上述練習中，學生遷移運用，表示出，整體求解.部分學生聯想到我們學過的另一個基本圖形，即“飛鏢型”，

拓展：感興趣的同學還可以總結一般規律：n等分線的第一個夾角∠A，n等分線的最后一個夾角=

最后，給出一些同類習題，變式再練，鞏固所學.

題1：如圖4，在△ABC中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則∠BPC=___________.

圖4

圖5

題2：如圖5，BE、CF都是△ABC的平分線，且∠BDC=110°，則∠A的度數為___________.

題3：如圖6，在△ABC中，∠ABC的平分線BD與∠ACB的外角平分線CD交于點D，如果∠ABD=20°，∠ACD=55°，那么∠A+∠D=___________.

圖6

圖7

題4：如圖7，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，若∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=___________.

三、進一步的思考

這名學生的3種錯誤與她所處的“班級位置”基本上是對應的，比如，對基本圖形及性質有印象，但是記錯、記串模型（與記憶力有關？），再比如，對這些基本圖形互相混淆與簡單記憶是否有關？教學上該如何避免簡單記憶基本圖形及性質而印象模糊？這些都值得深入思考.以下再圍繞幾何解題教學給出一些思考和建議.

1.要根據習題難度選擇相關學生展示

在目前的課改背景下，課堂教學中注意開展對話追問是很多教師的自覺追求，然而我們在一些課堂觀察中發現，教師與少數優秀學生之間的單向對話比較常見，而讓一些學有困難的學生參與課堂對話的機會并不多.因為這類學生“反應慢節奏”，如果安排他們進行課堂展示或開展對話，常常會消耗寶貴的課堂時間，所回答的問題也得不到完滿的解答，影響了教師的課堂教學進程，不利于整體學程的推進，所以這類學生在課堂上往往得不到更多的對話機會，常常成為“聽眾”.這方面一個較好的應對策略是，通過精心預設的不同難度的問題選擇不同類型的學生參與回答和展示，教師要預設好可能的一些問題，并做好預案，跟進追問，引導優秀學生參與評析，讓更多學生的思維被卷入到對話追問、反思評析的學程中來，這樣就達到了較好的“走向共生”的課堂教學效果.

2.要認真開展基本圖形及性質的教學研討

從上面的案例可看出，讓一些學有困難的學生試著多花時間去推導一些基本圖形及性質，拉長思考過程，是有效的做法.可以讓該生課后對三角形“雙角平分線”的夾角問題進行全面推導、梳理，最好能寫成數學小論文一樣的文章，以便加深對這類基本圖形及性質的理解，訓練精準識別的“眼力”.事實上，從應試訓練、精準備考的角度看，認真開展基本圖形及性質、很多“二級結論”（教材上沒有升級為定理、性質、推論）的教學是非常有必要的，但不能只是“一個性質、口訣記憶、大量練習”的教學取向，而應該引導學生從簡單的公理、定理出發，逐次呈現、演算推理得到新的結論，讓學生對這類新結論的演算推理過程有較好的理解，一方面，可以積累這些結論，另一方面，在這個過程中也訓練了更基礎的定義、定理，體現了“回到定義或概念去解題”的解題思想.

四、寫在后面

上面從我們每天“所見所聞”的學情素材出發，通過本文案例及解讀說明我們需要修煉教師的專業基本功——“診評和治療”.當然，這也正是教學評價與因材施教的基本要求.最后，期待更多的“教學手邊素材”及研討的案例分享和解讀，讓我們能夠師生教學相長、互相學習、分享教學智慧.