對一道圓錐曲線最值問題教學過程的反思

甘肅省通渭縣第二中學 (743300)

段偉軍

新課改提出學生具備六大核心素養，而核心素養之一“數學運算”是學生具備的基本功，高考數學圓錐曲線解答題是區分考生化歸轉化，計算變形能力的主要題型，也是數學運算的集中體現，在整套試題里，難度和區分度也是最集中地一道題.許多考生由于害怕計算，望而止步，缺少自信，放棄這道題，事實上，這幾年高考，無論是自主命題還是全國卷，都以橢圓或者拋物線為背景，借助根與系數關系，弦長公式，向量坐標運算考察解決恒成立，過定點，最值等問題.在解決這類問題時，審題是否嚴謹，方法是否得當，切入點是否準確，運算變形是否合理，常常是問題能否順利解決的關鍵所在.在解題時學生一般從條件出發，觀察試驗，向前推進，但經常是阻礙重重，失去方向，只能望題興嘆.如何進行有效的引導啟發，教會學生如何突破運算障礙？筆者在教學中發現，應在方法的突破和細節的處理上下功夫.通過對一道高考數學模擬題的思考分析，筆者給出如下見解觀點.

1.例題呈現

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若動直線l經過點M(-2,0)與橢圓C交于P,Q兩點，O為坐標原點，求ΔOPQ面積的最大值.

本題難度接近高考，考查的是圓錐曲線中三角形面積最值問題，第一問較簡單，第二問直線結合且字母較多，再加上最值問題，難度較大.如何突破，教學過程如下.

2.師生探究

師：(十五分鐘后)大部分同學都有了自己的想法，現在請大家談談自己的想法和做法.

師：生1充分利用三角形面積分割及弦長公式列出三角形的面積，將三角形的面積表示為動直線斜率的倒數很不錯，那該如何去求解這個式子的最值了？

生3：老師，可以式子平方后去掉根式用導數解決.具體過程如下：

師：很好！生3遇到根式，想到平方，遇到平方，想到換元，化繁為簡，化未知為已知，體現了很好的化歸思想，利用導數，打破思維障礙，巧渡難關，同學們容易發現，這樣的直線有兩條，關于x軸對稱，希望同學們能熟練掌握！

生4：生3的方法是不錯的，但我覺得不是最簡單的，我有更為簡潔的方法，不需要求導，過程如下：

師：生4、生5換元方式不同，形式不同，但實質相同，兩位同學的成功告訴我們換元會使式子化繁為簡，尤其是根式部分整體代換，巧變式子，妙用均值不等式求最值是函數與不等結合的體現，兩位同學思路清晰，目標明確，簡化運算，便于操作，提高解題效率，對于一些圓錐曲線中的最值，這種突破方法屢見不鮮，應加以足夠的重視！

生6：我的解法與前面兩位同學的不同，我換元后構造二次函數求最值，具體做法如下：

生7：我也兩次換元成二次函數求最值，但具體操作和生6的不同，具體如下：

師：非常好！生6、學生7的做法簡捷明了，避免了求導解決，通過兩次換元將這一較難問題構造成十分熟悉的二次函數問題.關注細節的變化，化陌生為熟悉，通俗易懂，這是我們突破難點的非常高的境界.此技巧可以推廣到解決所有圓錐曲線中最值問題中，

3.教學反思

數學教學的目的在于培養學生的思維能力與思維品質，解題的成功要靠正確思路的選擇，解題研究重要在解題方向與解題策略的研究，問題是數學的心臟，思維是數學的體操，面對具體問題，特別是計算量大，計算技巧強，計算能力要求高的問題中，學生本身潛意識就有一點恐懼的心理，教師要靈活選擇教學方式，舍得在課堂上花時間讓學生暴露自己的思維過程，分析其思維受阻原因及對策，發現不足，揚長避短.

較難問題往往不止一種解法，每一種解法都是一個思維的結果，然而教師往往忽視思維形成的過程，學生只能作為教師解題的觀察者和欣賞者，并沒有切身的體會，思維能力沒有得到真正的提高.教師應引導學生進行解題后的反思，不僅能有效地幫助學生鞏固知識、技能，而且對提高學生思維品質有特殊功效.反思的內容主要有：(1)解題涉及的知識方法有哪些？它們之間有何聯系？解題過程能否簡化？解題方法能否優化？哪些步驟上容易發生錯誤？原因何在？如何防止？(2)解題時用了哪些思維方法？解法是如何分析而來的？解法是否具有普遍意義？有何規律？(3)解決問題的關鍵何在？如何進行突破？是否還有其他不同的解法？在找到多種解法的前提下，哪種方法最優？最合理？其中的道理是什么？(4)在解題過程中最初遇到哪些困難？后來又是如何解決的？相信通過這樣的思考，學生的解題能力一定會得到很大的提高.

教師是提升學生核心素養的主力軍，課堂是落實提升學生數學核心素養的主陣地，如何將核心素養最終落實到學生身上，在課堂教學中，教師應明確把握教學目標，細化目標，結合教學內容合理設置教學目標與教法實施.尤其是核心素養的課堂落實，力求學生掌握知識與技能，思想與方法的同時潛移默化地促進數學素養的提升.

同時，核心素養的落實要高于課堂，不能局限于幾道數學問題的解決，而是要挖就出數學中的育人價值與社會價值，樹立以發展學生核心素養為導向的教學意識，增強科學精神，逐漸培養出學生適應終身發展和社會發展需要的必備品質.事實上，大多數數學教師更加強調的是問題的答案與學生的分數，忽視學生思維的發展過程與思考的角度，更是害怕暴露出學生思維受阻的原因，而是根據自己的理解思路就題講題，不會聆聽學生思維的心聲，這種做法很難將數學核心素養的提升落實到課堂，更不要說高于課堂，我們在教學中，不但要教會學生解決數學問題的思維技巧，更要為學生樹立終身發展具備的數學品質不斷探索創新，數學課堂教學與現實生活有機的結合起來，數學教學才會有更高的教育價值.