一道韓國數學奧林匹克題的新解及推廣*

陜西安康學院數學與統計學院 (725000)

趙臨龍

考題[1](第19屆韓國數學奧林匹克競賽題)在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB的切點分別為D、E、F.記AD與⊙O的不同于點D的交點為P.過點P作AD的垂線交EF于點Q,X、Y分別是AQ與直線DE、DF的交點.求證:

A是線段的中點.

本刊先后在文[2-3]中，介紹到有關射影幾何知識，我們可以用這些知識來研究競賽題，給出新的證明方法，并將競賽題進行推廣.

特例當點P為中點，則點Q為無窮遠點；反之，也成立.

引理1[4]如圖1.完全四邊形ABCD的兩對角線AB、CD交于點P，且AB、CD分別交對角線MN于Q、R，則點A、B調和分割P、Q.

推論1 當AB平行NM時，則P為AB的中點.

引理2[3]過點P(x0，y0)引二次曲線Γ：ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0的兩切線PE，PF切Γ于E、F兩點，則切點弦EF的方程為l：ax0x+b(y0x+x0y)+cy0y+d(x0+x)+e(y0+y)+f=0.

圖1 圖2

取完全四邊形AFIE，記AD與FE相交于P，FE與BC相交于Q1，由引理1得F、E調和分割P、Q1.于是直線DX、DY調和分割直線DA、DQ，設直線BC與AQ交于R.若證得點R為無窮遠點，即證明BC∥QA，則競賽題獲得證明.

下面，我們采用可以進行推廣的證明方法,證明BC∥QA.

此時，由AD⊥PQ，知直線PQ必過⊙O的直徑DG的端點G.現給出仿射推廣的證明方法.

現利用仿射變換，給出考題的推廣.

命題1 在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內切圓⊙O(一直徑為DG)與BC、CA、AB的切點分別為D、E、F.記AD與⊙O的不同于點D的交點為P.連接PG交EF于點Q,X、Y分別是AQ與直線DE、DF的交點.求證:A是線段的中點.

命題2 在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內切橢圓Γ(一主軸為DG)與BC、CA、AB的切點分別為D、E、F(其中切點D為橢圓一頂點).記AD與Γ的不同于點D的交點為P.連接PG(G為橢圓另一頂點，)交EF于點Q,X、Y分別是AQ與直線DE、DF的交點.求證:A是線段的中點.

現在，給出命題2的證明.

證明：(1)證明AD、BE、CF交于一點.

(2)證明BC∥QA.

在證明(1)中，又得到結論：

命題3 在△ABC中,∠B≠∠C,△ABC的內切橢圓Γ與BC、CA、AB的切點分別為D、E、F.則直線DE、DF調和分割直線DA、DC.

同時，對于三角形的內切圓具有仿射不變性.

即三角形關于內切圓的賽瓦定理，在三角形關于內切橢圓的賽瓦定理依然成立.