應用均值換元法解最值問題

江蘇省泰州中學附屬初中 (225300)

何林峰

評注:本題如用常規方法求最大值，可將原式兩邊平方后，通過化簡變形去尋找解題途徑.然而應用均值換元法求出結果，不僅方法新穎，而且簡捷，別有風味.本題解法的巧妙之處在于通過均值換元法，大大減少了計算量，降低了解題的難度，充分顯示了均值換元法的優越性.

例2 (2001年全國初中數學競賽題)已知實數a，b滿足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2.試求t的最大值和最小值.

例3 (2016年浙江大學自主招生考試題)設x,y≥0,2x+y=6,求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最大值和最小值.

分析：此類問題常用消元法，將其轉化為一元函數的最值求解，觀察本例的條件2x+y=6，發現2x+y=6=2×3，因此可以另辟蹊徑，通過均值換元求解.

評注：本題用一般的思維方式考慮，很難找到解題的方法或者過程相當復雜，而通過均值換元法，溝通了題設與結論的關系，使問題得到輕松解決.

例4 (2011年武漢大學自主招生考試題)設實數x，y，z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,試求z的最大值和最小值.

例5 (江蘇省蘇北四市2018年春高三一模試題)設x、y、z為非負數，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-2xyz的最大值和最小值.

評注：此題從表面上看似乎與均值換元法無關，使人陷入“山窮水盡疑無路”之情.但仔細觀察題目條件的特點，充分展開聯想，發揮思維的創造性，使得解題思路簡捷明快，解法簡單順暢，解法靈活巧妙.

從以上各例可以看出應用均值換元法求最大(小)值，其關鍵是要從問題的背景出發，根據題設及所求題目的結構特征經過合理的推理，探究出問題中的隱藏的均值換元法關系，列出符合題意的關系式，從而與均值換元法的有關知識聯系起來，以達到解題目的.

總之，應用均值換元法解最值問題，其關鍵是引進新的變量(元)參與計算，再結合代數知識求解.充分體現了變繁為簡，化難為易，化未知為已知的數學解題思想，從而達到消元的目的，簡便流暢地解決了問題.