2019年江西省高中數學預賽一道解幾題的多解探究

江西省石城縣職業中學 (342700)

溫 露

2019年高中數學聯賽江西省預賽第9大題是一道解析幾何題，試題為：

設橢圓C的兩焦點為F1,F2，兩準線為l1,l2，過橢圓上的一點P，作平行于F1F2的直線，分別交l1,l2于M1M2，直線M1F1與M2F2交于點Q.證明：P,F1,Q,F2四點共圓．

這是一道以解析幾何中橢圓相關性質為題干，證明平面上四點共圓為結論構建的試題，是一道解幾與平幾結合，考查考生解析計算與演繹論證綜合能力的好題，命題者給出的標準答案為：

圖1

∠F1QF2=180°，∴P、F1、Q、F2四點共圓.

同樣的方法，可以證明cos(∠F1PF2+∠F1QF2)=-1,結論得證.

考慮到，在四邊形PF1QF2中，PF2所對的角若能相等，則結論也得證，于是可得：

仿照上述思路，我們在四邊形中找到多對同弦上的角，均可嘗試證它們分別相等，得出所需結論，讀者不妨一試.

一道試題，能有如此多的解法，彰顯其探究魅力.