平衡系數(shù)，柳暗花明

安徽省樅陽縣第二中學 (246700) 榮光輝安徽省樅陽縣宏實中學 (246700)

江保兵

一、一道競賽試題和它的解法

這是2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第7題，這是一道條件最值問題，題面簡潔，內(nèi)容豐富.從公布的參考答案來看，本題主要考察多元均值不等式的應(yīng)用.

二、利用均值不等式平衡系數(shù)

事實上我們假設(shè)存在實數(shù)M和λ>0，使得下面這個不等式成立：

我們可以看到，平衡系數(shù)法是一種非常精致的待定系數(shù)法，系數(shù)的確定難度較大，運用的技巧較高，不僅要求熟練地使用代數(shù)變形，熟練地使用一些常用的不等式，而且要求這些系數(shù)能夠和諧地融入一個復(fù)雜的環(huán)境中，這時我們必須使用額外的變量來求解方程或者方程組找到原始的最終系數(shù)，這就是平衡系數(shù)法的關(guān)鍵和精髓.

例2 (2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北預(yù)賽高一、高二第7題)已知正實數(shù)a,b滿足ab(a+b)=4，則2a+b的最小值為.

三、利用柯西不等式平衡系數(shù)

這是2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第11題，試題結(jié)構(gòu)工整、對稱，由結(jié)構(gòu)中根號，聯(lián)想到柯西不等式，相關(guān)系數(shù)的確定，又想到平衡系數(shù)法.

四、利用嵌入不等式平衡系數(shù)

這是2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽省初賽第11題，我們現(xiàn)在利用嵌入不等式平衡系數(shù).

首先介紹一下嵌入不等式：設(shè)A,B,C為任意三角形的三個內(nèi)角，x,y,z為任意實數(shù).則有x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.

簡證：x2+y2+z2-(2xycosC+2yzcosA+2zxcosB)=(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0.

一道好題，猶如一塊璀璨的碧玉，讓人愛不釋手.而對試題的分析、探究更象一次奇妙的精神之旅，精致的解題技巧，豐富的數(shù)學思想，不一樣的風景，總是讓人流連忘返.