兩個旁切圓與半外切圓半徑的平方型雙邊不等式

福建省閩侯縣上街實驗學校 (350100)

黃銀珠

最近，筆者重新翻閱了《中國初等數學研究》，受益匪淺.其中楊志明老師于2016年發表的一文[1]引起筆者關注，經過探究，在文[1]的基礎上，本文建立了兩個涉及旁切圓與半外切圓半徑的平方型雙邊不等式.

約定ΔABC三邊長為a,b,c，其對應的旁切圓半徑分別為ra,rb,rc，R、r與s分別為ΔABC的外接圓半徑、內切圓半徑及半周長.Σ表示輪換對稱求和.

定義[2]與三角形兩邊延長線及其外接圓相切的圓，叫做三角形的半外切圓(即“遠切圓”).ΔABC三邊a,b,c對應的半外切圓半徑分別記為Ra、Rb、Rc.其中Ra表示與AB,AC延長線及外接圓相切的圓半徑；Rb表示與BC,BA延長線及外接圓相切的圓半徑；Rc表示與CA,CB延長線及外接圓相切的圓半徑.

引理在ΔABC中有如下結論成立：

(1)R≥2r(歐拉不等式)；

定理1證明：由文[1]可得恒等式

定理2證明：由文[1]得恒等式