橢圓中一個(gè)定值問題的拓展與思考

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

孟 永 張留杰

眾所周知，解題訓(xùn)練是提升數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)主要途徑.“如何解題”、“解后如何反思”一直是大家關(guān)注的熱門話題．面對繁多的高考模擬試題，該如何應(yīng)對？如何通過解一道題達(dá)到解一類題的效果？下面結(jié)合一道試題，談?wù)勅绾伟烟厥鈫栴}推廣到一般，探究一類問題的普遍聯(lián)系，揭示試題的形成過程．

(Ⅰ)若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM斜率的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在y軸上，且AQ∥BM，求證：∠PFQ為定值．

一、試題的解答與推廣

圖1

反思：回顧解題過程，不難發(fā)現(xiàn)在此橢圓中結(jié)論∠PFQ=90°相對于點(diǎn)M而言，是否具有一般性？能否推廣到任意橢圓呢？帶著疑問和好奇，我們進(jìn)行了探究，得出了如下的結(jié)論.

由于上述試題的b=c，自然就有PF⊥QF，所以，上述試題的結(jié)論為結(jié)論1的特例．

類似地，我們也可以將上述問題推廣到雙曲線中，得出

當(dāng)然，若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓和雙曲線滿足上述條件，則相應(yīng)的結(jié)論也成立．

二、試題的聯(lián)想與發(fā)散

高三復(fù)習(xí)過程中，遇到圓錐曲線的問題可謂無數(shù)，從一種曲線的一個(gè)特殊問題切入，將其一般化，并試圖類比到其它圓錐曲線，是學(xué)習(xí)和研究圓錐曲線有效的方法之一．如果我們善于反思問題本質(zhì)，聯(lián)想“形異質(zhì)同”的問題進(jìn)行歸類，總結(jié)提煉通性通法，不僅能提高學(xué)生的高階思維能力，更能取得舉一反三、融會貫通的功效，也能破解命題者改編試題的“套路”．

再回首，如果延長BM交y軸于一點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)該點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對稱，并且也有類似結(jié)論1的性質(zhì)，于是就和下面常見的命題聯(lián)系在一起．

圖2 圖3

以上兩個(gè)命題不難證明，并且還可以類比到雙曲線中．

正如波利亞曾經(jīng)形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個(gè)．”因此，在數(shù)學(xué)解題研究中，我們要善于在問題的周邊尋找，梳理同類試題，探究問題的根源，使得解題走向深入．