雙絕對值問題中兩個充要條件的證明與應用

浙江省東陽市第二高級中學 (322100)

陸琳琳

在高三復習過程中，我們經常會碰到雙絕對值的問題，學生處理此類問題只能想到零點分段討論，當題中出現參數時就手足無措，不知道該怎么處理.筆者根據碰到的幾個問題進行探究，如果把雙絕對值的問題通過等價轉化變成單絕對值問題，那么很多難題就迎刃而解了.

一、兩個結論

1.|A|+|B|≥M的充要條件是|A+B|≥M或|A-B|≥M.

證明:|A|+|B|≥M?|A|≥M-|B|?A≥M-|B|或A≤-(M-|B|)?|B|≥M-A或|B|≥M+A?B≥M-A或B≤A-M或B≥M+A或B≤-A-M?A+B≥M或A+B≤-M或A-B≥M或A-B≤-M?|A+B|≥M或|A-B|≥M.

2.|A|+|B|≤M的充要條件是|A+B|≤M且|A-B|≥M.

證明:|A|+|B|≤M?|A|≤M-|B|?

二、應用

例1 (2017金華十校模擬題)已知f(x)=x-2,g(x)=2x-5,則不等式|f(x)|+|g(x)|≤2的解集為.

解:(1)|f(x)|+|g(x)|≤2?

例2 解不等式:|x|+|x-2a|<4.

解:|x|+|x-2a|<4?

當-2

解:|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|>2(l>0)恒成立?|2f(x)-2|>2或|2f(x+l)-2|>2恒成立?f(x)>2或f(x+l)>2恒成立.