一類恒成立問題的轉化教學設計及反思*

☉江蘇省高淳高級中學 周 坤

一、背景分析

《導數》是高中數學教學中非常重要的一個章節，在每年的高考中也幾乎是必考題，而恒成立問題則是導數大題中常見的一種類型.由于本節課是一節復習課，在前段時間的復習中，學生已經進一步鞏固了導數的定義及基本應用（如求切線，求單調區間，求極值和最值等），故在此后的學習中，應當注重知識的深化和綜合.恒成立問題是導數的綜合應用中的常見問題，并且與剛剛復習過的導數的基本應用中的相關知識結合較為緊密，故特選此題作為一個專題進行教學.

二、教學目標

1.通過學生自主學習，體會導數在解決恒成立問題中的作用.

2.通過小組合作互助，總結歸納一些恒成立問題的轉化方法.

三、課堂設計思路

自主學習——引導分析——合作探究——提供支持——展示交流——引導評價——自我完善

四、教學過程

（一）課前熱身

（2）設函數f（x）=lnx-ax，其中a為實數，若f（x）在［1，+∞）上是單調遞減函數，則a的取值范圍是______.

（3）已知函數f（x）=ax3-3x+1，對于x∈（0，1］總有f（x）≥0成立，則a的取值范圍是______.

說明：本環節由學生課前完成，課上交流，并讓學生對（4）進行變式.學生中出現如下變式：

變式1：將“若對任意的x∈［-2，2］，都有f（x）＜g（x）成立”改為“若存在x∈［-2，2］，使得f（x）＜g（x）成立”求實數c的取值范圍.

變式2：若對任意的x1，x2∈［-2，2］，都有f（x1）＜g（x2）成立，求實數c的取值范圍.

變式3：若對任意的x1∈［-2，2］，存在x2∈［-2，2］，使得f（x1）＜g（x2）成立，求實數c的取值范圍.

設計意圖：數學的教學要遵循循序漸進的原則，四道題目都是含有參數的恒成立問題，也是此類題型中比較典型的題目.通過學生自己進行變式——討論——解決問題——展示——歸納方法等可以加深學生對題目本質的理解.

（二）例題演練

例1已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2，

（1）求函數f（x）在［t，t+2］（t＞0）上的最小值；

（2）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍.

設計意圖：關于運用導數解決含參函數問題的方法有很多，參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強，對于某些“含參函數”題目，不一定只能用某一種方法，還可用多種方法去處理.

例2設函數f（x）=x（ex-1），g（x）=ax2，

（2）當x≥0時f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍.

設計意圖：本題的第（1）小題主要是利用導函數的正負來判斷原函數的單調性.而第（2）小題大多數同學都是采用參變分離的方法，于是思維受阻，教師應抓住時機加以引導，以此來培養學生思維的靈活性.

學生解答如下：當x=0時，f（x）≥g（x）恒成立，

當x＞0時，f（x）≥g（x）恒成立，即x（ex-1）≥ax2在（0，+∞）恒成立，

若k′（x）=0，即xex-ex+1=0，

然而到此就戛然而止，因為xex-ex+1=0不會解.小組之間討論激烈但依然無果，那就意味著參變分離法無法解決此題.所以參變分離法并不是萬能的，對于所學的方法一定要靈活運用.最后通過教師引導，學生利用分類討論的方法把問題解決.

（2）令h（x）＝x（ex-1-ax），k（x）＝ex-1-ax，

則k′（x）＝ex-a.

當a≤1，則當x∈（0，＋∞）時，k′（x）＞0，k（x）為增函數，而k（0）＝0，所以當x≥0時k（x）≥0，即h（x）≥0.

當a＞1，則當x∈（0，lna）時，k′（x）＜0，k（x）為減函數，而k（0）＝0，從而當x∈（0，lna）時k（x）＜0，即h（x）＜0.

綜上所述，可得a的取值范圍為（-∞，1］.

（三）鞏固練習

2.若函數f（x）=x3+3x，對任意的m∈［-2，2］，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，則x∈______.

3.已知函數f（x）=（x+1）lnx-x+1，xf′（x）≤x2+ax+1恒成立，則a的取值范圍是______.

（Ⅱ）設g（x）=x2-2bx+4.當a=時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），求實數b的取值范圍.

設計意圖：強化訓練，鞏固本節課的所學知識.

五、教后思考

（一）教學中的成功之處

1.本節課的教學目標得到有效達成.

本課的教學目標是通過學生自主學習，體會導數在解決恒成立問題中的作用；通過小組互助合作，總結歸納出一些恒成立問題的轉化方法.令我沒有想到的是學生通過課前熱身以及各小組的變式練習，總結出了幾乎所有的方法，這對于我來講是一個不小的驚喜.

2.以生為本，體現學生的主體地位與教師的主導地位.

在整個課堂教學中，我通過課前熱身的設置，來總結方法，并分別用所總結的方法來解決兩道例題.解決例1時，學生分別用了分類討論和參變分離的方法.在解決例2時，絕大多數學生依然運用參變分離法，但是在解決的過程中遇到了f′（x）=0有解但不可求的瓶頸.然后各個小組進行討論，老師加以引導，逐漸使學生意識到參變分離法并不是所向披靡，并試著改變方法，可喜的是最后有小組利用分類討論法把問題解決了.整個過程中，我以組織者的角色參與其中，對小組探究進行指導，對學生不合理、不科學的地方并沒有馬上指出，而是由其他小組的同學指出，我只是適當點評，學生的主體地位與教師的主導地位得到了發揮.

3.學生學習知識由被動接受轉變為主動需求.

在本節課中，學生總結方法，然后合作探究、按照自己對知識的理解去總結、展示，根據自己在解決問題時遇到的瓶頸，去尋求同伴互助.由此可見，學生自己的主觀能動性得到發揮，他們是用自己的思想與思維獲得知識的，是靠自己的主動需求來獲取知識的.只有構建了完整的思維體系，學生們帶著思維去學知識，并發揮自己的主觀能動性用自己的思想和思維獲得知識的過程才算是主動式學習.

4.課堂氛圍比較輕松，學生暢所欲言.

“生本教學”倡導以人為本、以生為本，倡導學生自主學習、快樂學習.在這次公開教學中，學生的討論是自由的，能自由地發揮自己的觀點，在展示過程中，也可以暢所欲言，盡管有些表述不是很規范，有些知識點也不是很嚴密，但這些都是他們經過獨立思考而得出的結論.因此，我個人覺得，這樣的課堂氛圍比較輕松，氣氛比較和諧，也比較受學生歡迎.

（二）教學中的明顯不足

1.討論過程中少數學生參與意識差.

學生以小組為單位，進行合作探究，并進行成果展示，這是本節課的主要呈現形式.但在學生討論過程中，我們不難發現，少數學生參與意識差，他們極少發表個人見解，甚至不發表任何意見.

2.課堂中生成性的知識不夠.

在這一節課堂教學中，發揮了學生的主體意識，注重學生合作探究和個性發展，倡導一種開放性課堂.在這樣的課堂中，富有教育價值的生成性問題就會出現，但在本節課堂中，這種生成性的問題出現的并不多.因此，學生思維的火花并沒有得到充分碰撞，師生互動與互評也未能得到充分實現.