以抽象函數(shù)為背景的不等式問題的破解策略

☉福建省廈門雙十中學(xué) 梁瑩瑩

一、知識的重要性

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的解析式，只給出一些體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)特征的條件的一類函數(shù)，它是高中函數(shù)知識模塊中非常重要的一種函數(shù)類型.在近幾年高考和模擬考中，以抽象函數(shù)為背景的不等式問題頻頻亮相，題目以能力立意，短小精干，除考查導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則及函數(shù)的圖像和性質(zhì)外，重點(diǎn)考查學(xué)生分析和解決問題的能力以及創(chuàng)新思維，難度較大，區(qū)分度較高，既是熱點(diǎn)也是難點(diǎn).

實(shí)際上，根據(jù)條件和目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，構(gòu)造新函數(shù)，是解決此類問題的關(guān)鍵，這是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性，如果能掌握相應(yīng)的構(gòu)造策略，必能突破問題屏障，提升學(xué)生的聯(lián)系轉(zhuǎn)化的思維能力，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維.

二、學(xué)生的困惑

以抽象函數(shù)為背景的求解不等式或者比較大小問題，對大部分學(xué)生來說既是難點(diǎn)也是薄弱點(diǎn)，主要原因有三：

1.對題目條件中含有導(dǎo)數(shù)符號的不等式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不清，對基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的正向與逆向運(yùn)算不熟練、不敏感，從而無法構(gòu)造出新函數(shù).

2.對所求的目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特征分析不到位，或者等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力不夠，無法變形出含有新函數(shù)結(jié)構(gòu)特征的式子，導(dǎo)致無法在條件和目標(biāo)之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，使得解題受阻.

3.即使能夠構(gòu)造出新函數(shù)，但是對新函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、特殊的函數(shù)值等性質(zhì)以及圖像的綜合分析不夠全面透徹，導(dǎo)致無法求解不等式.

三、解題策略

1.結(jié)構(gòu)化策略——由局部聯(lián)想整體，化生為熟

例題1（2015·新課標(biāo)全國卷Ⅱ·12）設(shè)函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，＋∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，＋∞）

分析：條件不等式同時(shí)出現(xiàn)f（x）和f ′（x），兩者之間是減號，再聯(lián)想到（x）′=1，則把條件變形為f ′（x）xf（x）（x）′＜0，這恰好符合商的求導(dǎo)法則中的分子結(jié)構(gòu)，逆向應(yīng)用法則，配湊出分母，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，因此構(gòu)造的新函數(shù)為

圖1

解答：構(gòu)造函數(shù)（x ≠0），則 當(dāng)x ＞0 時(shí)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減.又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)且y=x也為奇函數(shù)，所以F（x）為偶函數(shù)，則F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增（如圖1所示），f（-1）=0?F（-1）=F（1）=0.當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0?F（x）＞0?0＜x＜1，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0?F（x）＜0?x＜-1，故使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1），故選A.

【變式1】條件不等式變?yōu)閤f′（x）+f（x）＜0，我們應(yīng)該構(gòu)造什么函數(shù)？

分析：同時(shí)出現(xiàn)f（x）和f′（x），兩者之間是加號，再聯(lián)想到（x）′=1，變形為f′（x）x+f（x）（x）′＜0，符合積的求導(dǎo)法則［f（x）g（x）］′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），則f′（x）x+f（x）（x）′=［xf（x）］′＜0，因此構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x）.

【變式2】條件不等式變?yōu)閒′（x）+f（x）＜0，我們應(yīng)該構(gòu)造什么函數(shù)？

分析：同時(shí)出現(xiàn)f（x）和f′（x），兩者之間是加號，聯(lián)系積的求導(dǎo)法則，我們需要尋找一個(gè)函數(shù)g（x），使得它的導(dǎo)函數(shù)就是它本身，聯(lián)想到（ex）′=ex，在f′（x）+f（x）＜0的兩邊同時(shí)乘以ex，轉(zhuǎn)化為f′（x）ex+f（x）ex＜0?［exf（x）］′＜0，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=exf（x）.

【變式3】條件不等式變?yōu)閏osxf′（x）-sinxf（x）＜0，我們應(yīng)該構(gòu)造什么函數(shù)？

分析：同時(shí)出現(xiàn)f（x）和f′（x），聯(lián)想到（cosx）′=-sinx，再聯(lián)系積的求導(dǎo)法則，得cosxf′（x）-sinxf（x）=cosxf′（x）+（cosx）′f（x）=［cosxf（x）］′，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=cosxf（x）.

【變式4】條件不等式變?yōu)閤f′（x）+2f（x）＜0，我們應(yīng)該構(gòu)造什么函數(shù)？

分析：同時(shí)出現(xiàn)f（x）和f′（x），兩者之間是加號，根據(jù)前面的想法，應(yīng)聯(lián)系積的求導(dǎo)法則［f（x）g（x）］′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），但是（x）′≠2，法則結(jié)構(gòu)對不上？怎么辦？能否對條件不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，比如說，在不等式的兩邊同時(shí)乘上某個(gè)式子，使得結(jié)構(gòu)特征滿足積的求導(dǎo)法則？我們需要尋找一個(gè)函數(shù)g（x），使得，再聯(lián)系到（x2）′=2x，所以兩邊同時(shí)乘以x（假設(shè)x＞0），變形出x2f ′（x）+2xf（x）＜0?［x2f（x）］′＜0，所以構(gòu)造函數(shù)F（x）=x2f（x）.

【課后思考】條件不等式變?yōu)閒′（x）-f（x）＜0，cosxf′（x）+sinxf（x）＜0，xf′（x）-2f（x）＜0，應(yīng)分別構(gòu)造什么函數(shù)？答案：分別構(gòu)造函數(shù)

【總結(jié)反思】在題目條件中，總會有一個(gè)含有f′（x）符號的式子，其中f（x）是抽象函數(shù)，可能還會夾雜一些具體函數(shù)形式（比如x，tanx等），聯(lián)系兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征，通過移項(xiàng)、同乘或者同除某個(gè)具體函數(shù)等變形手段，使得局部分散的多個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，向整體集中的單個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化，這個(gè)整體函數(shù)就是我們所要構(gòu)造的新函數(shù)F（x）.

再把待求的目標(biāo)不等式的兩邊，等價(jià)轉(zhuǎn)化成前面所構(gòu)造出的新函數(shù)結(jié)構(gòu)，根據(jù)單調(diào)性去掉“F”符號，轉(zhuǎn)化為求解具體不等式，或者根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性比較大小，從而得到答案.

這種策略在填選題和解答題中都適用，是解決此類問題的通法.

2.同構(gòu)化策略——由結(jié)論逆推條件，化異為同

例題2定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）＞f（x），則當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）與eaf（0）之間的大小關(guān)系為（ ）.

A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）

C.f（a）=eaf（0） D.不能確定

解法1：結(jié)構(gòu)化策略（讓學(xué)生做練習(xí)）

先移項(xiàng)變形為f′（x）-f（x）＞0，聯(lián)想到（ex）′=ex和商的求導(dǎo)法則，構(gòu)造函數(shù)，則F（x）在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)閍＞0，所以故選B.

解法2：同構(gòu)化策略

分析：觀察四個(gè)選項(xiàng)，除了D選項(xiàng)，A，B，C三個(gè)選項(xiàng)結(jié)構(gòu)一致，都是關(guān)于f（a）與eaf（0）大小關(guān)系的式子，我們嘗試移項(xiàng)變形，把具有相同自變量的式子變形到不等式同側(cè)，不同自變量的式子變形到不等式兩側(cè)，再聯(lián)想到e0=1，構(gòu)造出具有同構(gòu)性的結(jié)構(gòu)形式，我們把相同的東西保持不動(dòng)，不同自變量的地方引入變量x，猜想要構(gòu)造的新函數(shù)應(yīng)為，下同解法1.這就叫“異形同構(gòu)”，雖然自變量不同，但是不等式兩邊的結(jié)構(gòu)具有高度一致性，就可以構(gòu)造這個(gè)同構(gòu)性的函數(shù)，再利用新函數(shù)單調(diào)性來比較大小.

3.特殊化策略——由特殊代替一般，化抽象為具體

例題3已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f ′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（ ）.

A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b

分析：不妨設(shè)最簡單的奇函數(shù)f（x）=x對任意的x≠0恒成立，如此a，b，c都可以具體算出來，很容易比較大小.