“雙軌平行線”破解二次函數面積最值

楊格瑞

摘 要：二次函數是初中數學學習的一個重點，也是一個難點，也是中考數學題位24題壓軸的相應題，中考數學必考的一個知識點。特別是在壓軸題中，二次函數和幾何綜合出現的題型，才是最大的區分度。從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數相結合.使解題具有一定難度，在解決二次函數面積最值方面，“雙軌平行線”為常用的方法。本文就具體介紹一下“雙軌平行線”破解二次函數面積最值，供同學們在解決這類問題時參考。

關鍵詞：中考二次函數壓軸題;二次函數面積最值;“雙軌平行線”;數形結合;幾何構造

數學是研究現實世界中數與形關系的學科，我國著名數學家華羅庚教授有這么一段名言：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊分。數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非”。多邊形的面積往往可以通過割補法求解，往往在割補法的基礎上把四邊形分解成幾個三角形或者規則四邊形的面積求解，從而簡化計算過程和計算難度。所以多邊形求面積實質是求三角形的面積。如果三角形有一條邊確定，那么這條邊可以作為底，求面積最大，實質是當高最大時，面積會達到最大。當三角形的一邊在坐標軸上或與坐標軸平行時，可借助坐標軸或平行于坐標軸的直線上的某一條線段作為三角形的邊，第三個點到這條邊的距離作為三角形的高，直接利用三角形的面積公式求解。

一、“雙軌平行線”

到一直線上的距離等于定長的點在距離這條直線為定長的平行線，叫做“雙軌平行線”

二、模型應用

二次函數求面積最值，往往是二次函數壓軸題中學生比較難以得分的一種類型題，所以在求四邊形，三角形面積最值時，最終都是求三角形面積最值。先建立幾何模型，找已知點兩個，和未知點一個，兩個已知點組成一條線段，作三角形的底，即未知點到底的最大距離，即過未知點做一條平行于底的直線，且與拋物線有且只有一個交點，聯立兩個函數，使得判別式為0，再解聯立的一元二次函數，由兩個相等的實數根，即這是此時未知點的坐標，若是求四邊形，三角形面積定值時，最終都是求三角形面積定值。先建立幾何模型，找已知點兩個，和未知點一個，兩個已知點組成一條線段，作三角形的底，即未知點到底的距離為定值 ，此時的解題方法涉及到高中點到直線的距離公式，在此不作深入介紹。但是雙軌平行線解決二次函數中面積最值十分方便，純代數方法，使得二次函數壓軸題面積最值迎刃而解。

參考文獻：

[1]教育部.初中數學教與學.北京：中國人民大學出版社

[2]中學數學教學參考.陜西：陜西師范大學出版社

[3]中國數學教育初中版.遼寧：遼寧北方期刊出版社

[4]中學數學教學.安徽：華東師范大學出版社