幾何體的展開、折疊問題

王懷興

解答展開、折疊問題的關鍵在于畫好展開、折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清展開、折疊前后哪些發生了變化，哪些沒有發生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析、解決問題的依據.而表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及多面體表面的問題，解題時不妨將它展開成平面圖形試一試.

一、幾何體的展開問題

1.有關多面體的展開圖

例1 如圖1，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，AB =3，AA1=4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CCl到M點的最短路線長為√29，設這條最短路線與C1C的交點為N.求

（l）該三棱柱的側面展開圖的對角線長;

（2） PC和NC的長;

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的正切值.

2.有關旋轉體的展開圖

例2 如圖3所示，一個圓臺的上底半徑為5，下底半徑為10，母線A1A2=20. 一只螞蟻從A1A2的中點M繞圓臺側面轉到下底面圓周上的點A2，求

（1）螞蟻爬行的最短距離;

（1）螞蟻在爬行過程中（沿最短距離爬行），螞蟻與上底面圓周上的點的最短距離.

規律方法 立體圖形的展開是把一個立體圖形（或它的一部分）展開在一個平面上，然后將立體問題轉化為平面問題解決，這也是解決立體幾何問題時的常用策略：將三維空間上的問題轉化到平面上來處理，

二、幾何體的折疊問題

1.不變的垂直關系

例3 如圖5，ABCD是正方形，E是AB的中點，將△ADE和△BEC沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點為P，

（l）求證：PE⊥平面PDC;

（2）求二面角P-CD-E的度數，

解析 （1）從翻折的過程可以看出，AD⊥AE，EB⊥BC這兩個垂直關系是不變量，而翻折后A，B重合為P，故在立體圖中有PE⊥PD，PE ⊥ PC，問題得解.

（2）取CD中點F，連結PF，FE，在原平面圖形中，AD=BC，ED=EC，翻折后A，B重合為P，故PD—PC，可知PF⊥CD，EF ⊥CD，則∠PFE是二面角P-CDE的平面角，設正方形邊長為a，得PE—確定A，B，C，D四點所在的球心呢？找不變量！通過比較兩圖可以發現，折疊前A，B，C，D四點是共面的，翻折后不再共面，這是變化的量，而正方體中心0到四個頂點的距離是不變的，即在折疊前后中始終有OA=OB=OC=OD，所以0就是翻折后A，B，C，D四點所在球的球心，易得該球半徑R=l，而D，B兩點在球中所對球心角為π/2，球面距離L=a·R=π/2.

3.不變的平行關系

例5 如圖7，已知正方形ABCD，E，F分別是邊AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，求證：BF∥平面ADE.

分析 要證明BF∥平面ADE，只需證明BF與平面ADE內的一條直線平行即可，而比較翻折前后的圖形可以發現，BF∥ED這個平行關系是不變量，命題得證.

解 E，F分別是正方形ABCD的邊AB，CD的中點，則EB∥FD且EB=FD，

所以四邊形EBFD是平行四邊形，

所以BF∥ED，

所以ED 平面AED，而BF 平面AED，

所以BF∥平面AED.

規律方法 充分利用翻折前后圖形的性質來尋找解題的途徑，而其中翻折前后的“不變量”往往是解題的關鍵，常見的不變量有“不變的垂直關系，不變的長度關系，不變的平行關系”這三類，當解題受阻時就應該思考“哪些量是不變的”，可以說找到了不變量就找到了解題的鑰匙！

如圖8，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

（l）證明：AC上HD';

（2）若AB=5，AC=6.AE=5/4，OD'=—2√2，求五棱錐D'-ABCFE的體積。