學習立體幾何的法寶之一

時訓江

立體幾何著眼于構圖，通過對圖形的觀察、操作和分析，形成空間觀念，提升空間想象能力，領悟轉化與化歸的數學思想，培養直觀想象的數學核心素養.而這些能力與素養的培養都需要建立在對基本圖形（柱、錐、臺、球）的認知基礎之上，通過對基本圖形的認知（會看、會畫、會分析、會應用），將復雜的幾何圖形化歸成基本圖形來研究.本文就立體圖形的讀圖能力的培養加以闡述.

一、會畫圖——強化基本作圖技能訓練，培養畫圖能力

畫圖，實現研究對象從具體到抽象，是立體圖形認知的基礎.認識立體圖形，可以從立體圖形的三視圖和直觀圖兩個角度人手.初中階段我們已經對簡單幾何體的三視圖作了初步研究，在此基礎上，復雜幾何體的視圖可以通過分解成簡單圖形加以研究.

例1 畫出如圖1的幾何體的三視圖.

解 三視圖如圖2所示：

該幾何體可以看成四棱柱和圓柱的組合.復雜幾何體通過分解化歸成基本幾何體研究，這是研究立體圖形的重要方法.

立體幾何的學習是以基本圖形（柱、錐、臺、球）及其組合圖形為載體，能準確畫出這些基本圖形的直觀圖，在頭腦中形成這些基本圖形的構成要素（點、線、面）的位置關系和數量關系的認知，在此基礎上，才能夠對復雜圖形快速識別、剝離，化歸成基本圖形進行研究，形成解決問題的一般策略.

例2 圖3的幾何圖形可以由哪些基本圖形構成？

解 該幾何體可以分解成六棱錐和六棱柱.

當將復雜的立體圖形分解成一些簡單熟悉的圖形，比如這里的六棱錐和六棱柱，就可以將復雜的問題轉化為簡單問題處理.

二、會看圖——強化基本概念的認知，提升空間想象能力

看圖，實現對立體圖形信息的提取，是分析圖形的基礎.數學的本質是弄清概念，立體幾何的學習也不例外.立體圖形的特征是通過概念來表達，我們只有對點、線、面的位置關系和數量關系等相關概念的認知，才能在頭腦中勾畫幾何圖形，層層分解，形成策略，從而固化對圖形表征概念的認知.以“四棱柱”為例：

（1）四棱柱的每個側面都是平行四邊形;

（2）直四棱柱的每個側面都是矩形;

（3）底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱;

（4）對角面是矩形的四棱柱是直四棱柱;

（5）正四棱柱的八個頂點在一個球面上;

（6）四棱柱的側面展開圖是平行四邊形;

（7）四棱柱的兩個底面和平行于底面的截面是全等的四邊形;

（8）過四棱柱不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形;

（9）直四棱柱的側棱長與高相等;

（IO）正方體是側面為正方形的正四棱柱;

（11）四棱柱的側棱與底面所成角都相等.

通過上述系列問題的辨析，我們對四棱柱概念的內涵和外延的認知會更深刻，圖形的識別能力白然增強.我們還要用聯系、發展的觀點對圖形進行識別，四棱柱與平行四邊形、矩形和正方形進行比較，把對四棱柱的認知納入到原有的四邊形的認知結構中，讓知識網絡化.

三、會析圖——強化圖形變換和化歸意識，提升圖形的處理能力

析圖，在圖形基本概念信息提取的基礎上，學會對圖形進行變換、化歸處理，深刻理解圖形，提升空間認知能力，復雜的幾何圖形往往可以通過拼接、折疊、割補、展開等方式化歸成基本圖形，臺補成錐，錐割成臺;錐補成柱，柱割成錐;側面展開成平面，平面彎折成空間.補與割，折與展，體現了圖形變換的對立與統一.其次，復雜圖形還可以通過平移、旋轉，構造新的圖形加以研究，還可以添加輔助線，作出新截面進行研究.復雜問題簡單化，空間問題平面化，一般問題標準化，這些都是處理立體幾何問題的基本想法.以下面幾個問題為例.

例3棱錐和棱臺如何通過割補轉換？

解 如圖4、圖5所示.

例4 從圓臺底面點A繞側面一周回到過點A的母線中點處最短的路線是什么？

解 如圖6所示，把幾何體的側面展開，最短路線轉化為兩點間距離來處理.

畫圖、看圖、析圖，我們要學會看圖說話，用圖說話，學會用圖形語言表達.這是我們學習立體幾何的制勝法寶之一.