黃沙百戰穿金甲：淺談窮舉法

孫子在兵法中強調，戰爭的目的是為了勝利而非殺戮的快感，同樣，數學的學習是為了更快更精準地解題，提高數學思維能力，而非用來炫技.有時候，機械地套用公式、定理、方法、技巧，會發生不少像“鄭人買履”、“刻舟求劍”這樣“典型學生思維”的鬧劇.值得關注的是，解決一道難題的最佳方案，也許不是復雜的推理和運算，反而是最不起眼、最純粹的列舉，希望這篇回歸原始的文章能引起各位的注意，畢竟數學能力的強弱更主要在于分析和解決問題的能力，而非知識點多少.

題 一列數：1，2，3，5，8，13……請問第1993個數被6除余幾？

這道看似是名校白招的題，實際上來自小學四年級的一本奧數講義.顯然，所謂“一列數”實際上就是去掉首項1的斐波那契數列（l，1，2，3，5，8……），對這樣龐大的數字求解，其背后一定有規律存在，于是我隨手便列舉了6項（如表1）：

隨著數列的展開，具體數值將如滾雪球般越來越大，這時依然靠它求被6除余數顯然不夠理智.觀察可以發現，最右邊由被6除余數組成的新數列之間，也存在著類似斐波那契數列的性質，簡單證明一下：

可是，再回頭看產生的新數列，還是沒有頭緒.我不禁失去了耐心，將題目上傳到了一個數學愛好者討論群中，很快，各種學霸和數競大佬都開動起來，我則繼續默默列舉.

有人搬出了特征方程，將數列通項解出：

然而，談及被6除余幾卻依然無人作答，而不同的對方程的代解方法則分成不同陣營吵了起來，這時，我上傳了我的答案：

山重水復疑無路，柳暗花明義一村.可以看到亂序的數字在第24位出現了轉機，即第24位不僅回到了第1位的數值1，其前一位為O，那么第25位為1、第26位為2……分別對應第1，2，…位.所以說，這個“余數列”呈現出以24為周期的循環.證明一下24為周期：

為了保險起見，我又在網上找到了原題與詳解，答案正確并且窮舉為目前唯一的方法，解析中最后一句“本題旨在考驗學生的意志力與科學精神”，仿佛是對“高材生們”的絕佳諷刺.

再來看群里，仍有人“不死心”，誓要熬夜將這個龐大的數字簡潔表達……祝他成功.而整理草稿的我不禁想起一句話，可能文題不太吻合：“有時我們走的太遠，以至于忘了為何出發.”

解完了這道頗浩大的題，總結歸納一下可以得到有關窮舉法的幾個要點：①題干中出現幾百幾千這樣極大的數據時，往往會有規律可尋，可先通過窮舉發現規律，再進行代數證明;②在窮舉過程中，盡量避免對過于龐大的數據計算，而是在數值比較小的數據中找規律，需要我們在解題過程中隨時化繁為簡;③面對較難的，求具體數值、最值的相關問題時，窮舉往往是最先與最后的方法，先小規模地列表，未果后考慮其他思路，若依舊毫無成效，則可適當放大窮舉的范圍，對填空題而言，這種相對客觀的解題策略與方法既省時義高效;④窮舉并非單純地全部列舉，在適當的條件下結合兩分法等，在對過程的分析中可以跳過一些無意義的列舉，抓住性質縮小范圍，尋找列舉中的“轉機”.

那么，讓我們回到高中數學中來，嘗試解答這道2018年江蘇卷高考的填空壓軸題：

得到答案為27.對于計算能力可觀的學生來講，窮舉似乎比需要討論的函數法更加迅猛，雖然不少行為更多是出于“下意識”，但在并不嚴謹的解題過程結束后可以再回頭思考原理，萬變不離其宗，就算沒能直接算出結果，列舉的過程中想必也能幫助考生更準確地把握函數表達式.

沒有花哨的公式，思考加上5次基本運算，一道高考壓軸題和小學生的思考題一樣煙銷云散.下一次遇到符號字母們解決不了的問題，不要太狂躁，不如先列幾個數下來安靜些，回到原點，萬一那就是終點呢？

老師點評 孫毅堅同學愛好學習，善于思考，而且有堅韌的毅力.對于窮舉法，許多孩子是沒有耐心去嘗試的.正如試題解析所言“本題旨在考驗學生的意志力與科學精神”，學生的意志力與科學精神是可以通過考試的形式得到考查的.四年級的奧數題對于一個高中生來說應該是不算太難，但是方法的選擇顯得很重要.本題如果不用枚舉法去解，則要費時費力得多，2018年江蘇高考題也是這個道理.枚舉法是最基本且重要的方法，學生要有耐心去嘗試.當然并不是要求沒有目的地做，而是要求學生能夠邊做、邊觀察、邊思考，這樣才能找出規律，從而使問題得到解決.久而久之，學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養就能夠得到培養。