一道等差數陣題的暢想曲

高一下學期，我們學習了《必修5》中的數列知識，在做練習作業時，發現了這道題：

下面給出一個“等差數陣”：

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數.

（l）寫出a45的值;

（2）寫出a_ij的計算公式，以及2017這個數在等差數陣中所在的一個位置.

認真做完題目，我掩卷沉思，不禁思緒翩翩.這樣根據已知數據，尋找恰當規律，填數的數陣，在小學也見過.現在我是高中生，長大了，問題也升級了，這個有意思.我就以這道題為契機，自主設置問題進行探索求解——進行一番數學暢想.

為了完成第（l）小題和找規律，我一定要不辭辛勞地多寫一些項，如圖2.這樣就輕松得到第（1）小題答案49.

第（2）小題要求解a_ij的通項公式.平時學的數列通項，只有一個變量，這個題目搞事情呀，怎么是雙變量呢？看著圖2中大量的數據和省略號，我心中不覺陣陣發毛，想必難寫！怎么辦？

不過要找出2017在等差數陣中的一個位置，可以在較小的行列中進行試探.觀察數陣發現，這個數陣的數關于a_ij成對稱排列，即第一行的數和第一列的數一樣，第i行和第i列的數一樣，那么某數在a_ij位置出現，就必在a_ij位置出現，如果2 017出現在第一行，必有2017 =4+3（j-1），解得j=672，故2017出現在第1行第672列中，當然也出現在第672行第1列中.它還會出現在別的位置嗎？繼續用這個辦法試探所有的，哦，NO，饒了我吧，這一定不是明智的想法，它定會有規律可循的，我得慢慢研究它.

暢想一：方陣暢想曲

我仔細觀察這些數據，嘿嘿，有了.從圖2中選取n行n列的方陣，對角線上行和列是相同的，相當于一個變量，應該簡單得多，我先來解決它.

完成了對角線的通項，我們把目光再次轉移到任意方陣中來：任意一項的通項如何表示？如何判定任給一個數是否在這個方陣中？如果在，會出現多少次呢？

暢想二：矩陣暢想曲

用i，J直接表示a_ij的通項有困難，考慮到題目說每行、每列都是等差數列，我是不是可以采用迂回的方法，先表示每行或者每列的通項，再進行觀察呢？說干就干.

暢想三：多媒體暢想曲

問題8 借用Excel表格，如何尋找規律呢？

分析 Excel有強大的運算與分析能力，豐富的功能區菜單，面對大數據工作表的時候，進行數據整理、計算、匯總、查詢、分析等處理，簡直無所不能，太贊了！

我運用Excel表格，查找2 017這個數在等差數陣中所在的一個位置，使用了如下方法.

問題9 運用編程的方式解決問題，會否更方便呢？

我們現在正在學習Visual Basic語言編程，這道題目也符合編程的要求，不妨小試一下牛刀，從兩個不同角度編寫一下查找某數在等差數陣中的位置的程序，編寫的程序及結果如圖4和圖5所示.

運行該程序，只要在方框內輸入你想查找的數字，單擊查找，在窗體上就會列出該數字對應的i，j的值，從而得出該數在數陣表格中的位置.

圖4是運用了已經算出的以a_ij=2ij +i+j這個通式，運用二維數組進行編程設計的.圖5是運用了表格中給出的4個數字4，7，7，12，根據等差中項的性質，先算出第一行和第二行的各數，即i=l，2時，用公式a（i，j）=2*-a（i，j-1） a（i，j-2）計算出第一、二行.對于給定的數M，第一行可能出現的最大的列數是Int（（m -4）/3+1），下一列的數就超出M了.這個數就是最大的列數和行數，然后再利用a（i，j） =2*a（i-1，i）-a（i-2，j）計算其余的各行，直到最大的行.

暢想四：數陣變奏曲

對上面的表格進行改編，一定可以得到一些有趣的規律.

改編一：使每行的公差始終為3，每列公差為5.除了前面的問題，還可以提出如下問題.

1.哪些數會在這個數陣中出現，哪些數不會出現？有規律可循嗎？

2.哪些教會出現兩次？三次？甚至無數多次？有規律或者公式嗎？

改編二：n²（n≥4）個正數排成n行n列的方陣：

數字構成的數陣，千變萬化，只要你開洞大腦，不斷思考，你就可以收獲一片旖旎，欣賞無限絢麗的風光，奏響一段愜意的暢想曲，

【指導老師點評】

馬思琪同學在作業中發現了一道有趣的等差數陣問題，循著問題的腳步，不斷探究，運用代數、Excel、編程三種辦法找出2017在等差數陣的位置，而且通過a_ij的通項設置出裂項求和等數列問題.善于學習思考和運用多媒體工具解決問題是本文的一大特色，盡管學校學了一些VB編程語言，但要完成沒有學過的二維數組隨變量而精確定義，以及For語句與IF語句的嵌套運用，還是困難不小，學習就是在這種自發的“嘗試與錯誤”過程中完成的.