一種新型雙曲拋物面椅子的數學原理

楊小兵 胡丹 吳朦

摘要：本文研究了一種新型雙曲拋物面椅子的數學原理.對于新型椅的構成做了簡單闡述，根據新型椅的特點，抽取數學模型，確定了椅子所在的線面方程，對其進行了數學描述.對于椅子的穩定性，利用力矩平衡法對椅子的重心進行探討，并對該方法進行了分析.最終運用Matlab軟件繪制了椅子的內部形狀，利用Maple軟件模擬了椅子的動態形成過程.

關鍵詞：馬鞍面;椅子模型;動態變化;重心

中圖分類號：O29? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）02-0008-03

椅子的造型主要以線和以體為主[1].隨著經濟和科技的發展，人們對椅子有了更高層次的追求，表現為對椅子各方面的創新.早在20世紀50年代設計大師Bertoia設計的以線為造型的“鉆石椅”[2]，它是用一張金屬網作為椅背焊接而成，簡單耐用卻不失華美.再如20年代，荷蘭家居設計師Gerrit Thomas Rietveld設計了以體為造型的具有立體形態的紅藍椅[3]，它是由幾何形態的木板組合而成，整體的立體形態和鮮艷的色彩交相輝映.

椅子的創新除了造型設計，還涉及椅子的模擬與仿生原理[4]，如1936年西班牙Salvador Dalia就設計了一種類似于嘴唇型的沙發[5]，具有超現實主義風格;1954年，Sori Yanagi設計的酷似蝴蝶的凳子[6]，它由兩片彎曲定型的纖維板通過一個軸心連接而成;1956年美國Geoge Nelsom設計的琴鍵型椅子，將音樂融入了家具設計中.這些椅子的設計不僅僅是物質創新，還是人類精神文明的創新.

目前，美國設計師Carlo Aiello也設計了一種新型的拋物線椅，這是一種以線為造型的椅子，它充分運用了直紋面的設計理念，用不銹鋼網制作而成，其幾何形態十分優美.其創新之處在于，整體綜合了馬鞍面和人體工程學[7].由于國內外的椅子只有少部分是運用了馬鞍面的理念，因此研究這類椅子的構造原理、動態生成及重心等對椅子的創新顯得尤為重要.

1 椅子的組成部分

該設計來源于雙曲拋物面的數學分析及其最小表面厚度和長跨距的強結構特征.椅子的外部是由三個三角形組成的一個輕質支撐框架，椅子的內部是由兩個高度對稱的雙曲拋物面（馬鞍面）合并成一個單一的表面作為椅座和靠背.其表面是由一個個開放的不銹鋼網絡交織而成，可以帶來多孔的視覺陳述，而光線和空間的流動與周圍環境融為一體，給人一種視覺的沖擊.簡約而不簡單，深受人們喜愛.通過查閱相關資料，可知椅子的實際參數[7]為：高h1=94cm，長L=102cm，寬d=89cm，座位高h2=43cm.如圖1所示：

2 提取抽象的數學模型，建系作圖

如圖2所示，已知這張椅子左右結構高度對稱，且椅子中兩個馬鞍面共用平面OAA1.以椅子的后落地點作為原點O，y軸過BB1中點，Z軸過靠背頂點C，建立空間直角坐標系.如圖2所示：

根據最能引起美感的比例設計，可取E為線段OA的黃金分割點，則有：

椅座馬鞍面方程為：

z=-0.067（x2+y2）+0.057xy

椅座和靠背的方程并非標準的馬鞍面方程，需要其標準方程經過旋轉、平移，這里只給出了椅座的方程，靠背的馬鞍面方程同理可求，計算中其結果四舍五入，保留到千分位.

通過抽取抽象的數學模型，對椅子建立了空間直角坐標系，根據椅子的特點及各組成部分之間的關系，利用實際參數和一個巧妙的比例對椅子支撐框架、椅座和靠背進行分析.求解出這些方程為后面椅子的仿真模擬作鋪墊.

3 椅子的重心

不論物體如何放置，其重力的合力作用線相對于物體總是通過一個確定的點，這個點稱為物體的重心[8].確定物體重心的位置在產品設計、機械制造、工程上有著非常重要的意義，而椅子重心的位置就對其使用的穩定性和舒適性有著直接的影響.目前測量物體重心的方法有力矩平衡法、質量矩守恒、引力法、懸掛法等[9].本文主要采用力矩平衡法求椅子的重心，并對這種方法進行了分析.

3.1 力矩平衡原理

力矩：在物理學里是指作用力使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，力矩可以分為力對軸的矩和力對點的矩，力矩M的計算為：

當作用在物體上多個力的合力矩為零時叫作力矩平衡，有固定轉動軸的物體的平衡條件是力矩的代數和為零.

3.2 力矩平衡法求椅子的重心

用力矩平衡法求椅子重心，首先需要測量椅子的重量，其次測量個支撐點受力大小，然后設出重心坐標結合力矩平衡即可求出重心[10-11].本文的計算結果采用四舍五入，經查閱資料，知道該椅子的質量為5kg，以D2點為原點，建立空間直角坐標系，如圖3所示：

運用傾斜法求z的坐標[9]，保持B、B1支撐點的狀態不變，將O點抬高60cm，此時椅子與水平面的夾角可以近似為？琢=？仔6，傳感測力器測得O、B、B1點示數分別為：

由式（1）～式（5）可知重心F（34，0，43），此時椅子的重心剛好落在椅座的馬鞍面上，如圖3所示.根據三角形重心坐標，可知底面三角形重心為G（34，0，0），即椅子的重心剛好與椅子框架落地點所組成的三角形的重心重合.這樣的高度吻合，可見該椅子的設計十分巧妙.該椅子上重下輕，重心較低.當有人坐在上椅子時，使得重力對支點產生力矩，即抵抗力距.由于各支撐點與原點的距離不斷增大，抵抗力矩也隨之增大，最終實現和外力力矩的平衡.此時，椅子的重心有所降低，重心的投影仍與底面三角形的重心重合，加上椅子的支撐框架為三角形，充分體現了椅子的穩定性.

結果分析：用力矩平衡法求椅子的重心操作簡單，結果較為準確，是一種測量重心的好方法，但是需要傳感測力器.另外，查閱資料可知該椅子的材料采用304號不銹鋼，且密度均勻為7.93g/cm3理論上我們可以利用質心去近似計算椅子重心，該方法不需實驗儀器，只需確定積分區間和椅子體積，也不失為一種方法，這就需要我們在面對具體的問題中，采用適當的方法.

4 椅子的動態生成過程

研究椅子的生成過程，對于椅子的設計尤為重要.這里采取由局部到整體的研究方法，要研究整個椅子的動態生成過程，就必須清楚椅子每一部分是如何生成過程.首先運用Matlab軟件繪制了椅座靠背連一起的情況，如圖6所示，再利用Maple軟件對椅子的仿真模擬得到如圖7的結果.

5 結語

本文通過建立椅子支撐框架直線方程模型和椅座、靠背馬鞍面方程模型，考慮椅子的穩定性，采用力矩平衡法對椅子的重心進行計算，并將這種方法進行分析，最后利用Matlab軟件、Maple軟件繪圖，直觀地描述了該新型椅子的數學原理和動態生成過程.

參考文獻：

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