運用畫圖策略培養兒童幾何直觀

王靜

【摘要】數學教學改革重視兒童幾何直觀的培養，它能幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的大門，突破數學理解上的難點。因此，這就要求教師在教學時，讓學生在動手畫圖中培養幾何直觀意識;在多種圖形模型中，提升幾何直觀理解;在反思內化積淀中，發展幾何直觀思想。

【關鍵詞】畫圖策略 兒童 幾何直觀

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十大核心概念之一。雖然，小學數學教材中沒有出現“幾何直觀”的定義，但小學數學諸多問題的呈現、分析等過程充分體現了“幾何直觀”的作用和價值。數學和數學教育家弗賴登塔爾也曾說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念、方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”因此，筆者一直在思考，在小學階段如何運用畫圖策略培養兒童的幾何直觀？

一、重視畫圖，培養幾何直觀意識

數學中的“幾何直觀”究竟指什么？數學家克萊因指出，“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”這段闡述明確指出圖形是培養兒童幾何直觀的重要載體。因此，筆者認為，培養兒童的畫圖意識，運用好畫圖的策略對培養兒童幾何直觀能力有著重大意義。

1.低起點：以圖求解——變模糊為清晰

兒童的認知發展一般經歷三個階段：動作感知—形成表象—建立概念。而在小學階段，畫圖的做法就符合這一規律，將抽象的思考對象“圖形化”。教師培養學生畫圖首先從低起點開始，通過簡單的圖（圖形直觀、簡潔）讓兒童體會。如三年級在學習“倍數”的知識時，教材中對“什么是倍”并沒有給出語言定義，而是通過簡單的圖（如圖1）畫一畫、圈一圈的方法感受“倍”的含義。那么，運用這樣的直觀教學，將“6是2的3倍”這樣的文字表述借助圖形就能解釋得清晰明了：每2個是一份，有這樣的3份，就是2的3倍。模糊的“倍”與清晰的“份數”相結合，學生就能直觀感受到畫圖的重要作用，為畫圖意識的培養助力。

2.慢滲透：以形助數——變抽象為具體

數學家華羅庚對“數”與“形”有過非常精辟的刻畫：形使數更直觀，數使形更入微。數形結合作為一種重要的思想方法，是把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形和圖像結合起來思考，從而使“數”與“形”優勢互補，展現邏輯思維與形象思維的完美統一。在蘇教版三年級上冊第一單元中有這樣一道思考題：小欣家離學校850米，一天早晨，她從家出發去學校上學，大約走到總路程的一半時，發現忘記帶數學書。于是又回家拿書，再去學校。這天早晨，小欣上學大約一共走了多少米？

筆者對學生們提出如下要求：你能把小欣上學的過程在本子上畫下來嗎？以下三幅圖是學生的代表作品，圖2-1將學校、小欣家還有人物都畫了出來，數學里透露出童趣;圖2-2用小圓圈代表學校和小欣家，將線和“一半”“回去”“又去學校”這些關鍵詞相結合，這是從抽象到半抽象的一次轉變;圖2-3是一幅常見的線段圖，學生已經不再借助房子、小人、圓圈來表征信息，幾條線就已經將條件表示得清清楚楚了。這三幅圖從稚嫩到成熟，層次不一樣，但學生們的幾何直觀都得到了發展。

學生從低起點的感知到逐漸滲透，用畫出來的“形”來刻畫和解釋數學知識，感受到幾何直觀的價值，滲透幾何直觀的意識。

二、豐富模型，提升幾何直觀理解

圖形有助于將抽象的數學對象直觀化，利于培養兒童的數學直觀領悟能力，而圖形模型的建立則是從若干具體情境中抽象出問題的本質，全方位培養兒童幾何直觀理解能力及初步的模型思想。以下介紹兩種在小學階段常見的畫圖模型。

1.線段圖模型

小學一年級起，教師就應該有培養學生畫示意圖的意識，3可以畫成3個△。在蘇教版教材中，學生第一次正式認識線段圖是在三年級，用來表示數量之間的關系，幫助學生分析并解決問題。

如四年級下冊“解決問題的策略”是解決和差問題。學生讀題獲取數學信息：兩人共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，求兩人各有多少枚郵票。這時，教師提問：你能想到什么辦法幫助我們直觀地、很清楚地看清數量之間的關系嗎？還有能找到解決問題的辦法嗎？同學們紛紛回答：畫線段圖。在教師的引導下學生讀懂書中的半成品線段圖（如圖3），并且補充完整信息，解決問題。

在小學階段，和差、和倍、差倍問題，還有行程問題等，都可以用線段圖厘清數量關系，學生的認知難點得到了突破，問題得以解決。因此，在小學階段，畫線段圖是非常重要的解題策略。

2.面積圖模型

畫面積圖是解決問題的另一種策略。學生利用面積變化圖將一些表述復雜、晦澀的文字變得直白形象，從而有效地分析條件，探尋出解題路徑。在四年級學習“畫圖解決問題的策略”時，教師出示這樣一道題：李鎮小學有一塊長方形試驗田。如果這塊試驗田的長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。你知道原來試驗田的面積是多少平方米嗎？此題條件較多，光靠想象無法準確解決問題。畫出面積圖就能很直觀地看出題意（如圖4、圖5），圖4描述的是“長增加6米，面積比原來增加48平方米”這一條件，由此可以求出原來長方形的寬=48÷6=8（米）;圖5描述的是“寬增加4米，面積比原來增加48平方米”，從而可以求出原來長方形的長=48÷4=12（米）。

三、內化積淀，發展幾何直觀思想

幾何直觀能力的培養不是一蹴而就的，必須經過長期的、有意識的訓練。學生在運用多種圖形模型解決實際問題的過程中可以積累豐富的數學畫圖經驗，體會畫圖策略的價值，并形成自覺地應用，進而發展其數學思想。

1.借形觀數，多元表征，積累直觀經驗

教師在教學中把幾何直觀運用得越充分，直觀的效果越明顯，學生的直觀表現意識就會越強烈。如在教學12×14這樣的兩位數乘兩位數的筆算時，教師通常會從情境出發，引導學生理解算理：12×4和12×10分別表示的意義，進而厘清算法。而當教學時呈現直觀模型圖（如圖6）后，學生對直觀的理解也就更加深刻。

所以，借助圖來直觀表征數學計算問題，理解兩位數乘兩位數的算理，在圖與式的勾連中，讓學生深刻理解算理，體會兩位數乘兩位數的本質：乘法意義與乘法分配律。強烈的直觀表征，會為發展和形成幾何直觀思想奠定堅實的基礎。

2.借形思法，聯想頓悟，發展幾何思想

借助幾何直觀圖，學生可以進行推理、演繹以獲得一些解題的一般思路。而當學生的幾何直觀能力發展到一定水平時，學生還能夠獨辟蹊徑，直觀頓悟出一些特殊的方法，形成創造性的解題思路。如教學六年級上冊“長方體和正方體的認識”這一單元時，教師根據題目提出問題：水箱高度是水面高度的3倍，這個水箱還能盛水多少升？學生根據題意畫出直觀圖，標好有關的條件數據（如圖7）：

一般情況下學生能找到常規的思路和方法“水箱的體積-水的體積”，用50÷（5×5）=2（分米），2×3=6（分米），5×5×6-50=100（升）。但也有學生從圖中就直接頓悟出50×2=100（升），這表明學生經過長期的幾何直觀能力訓練后，已經能借形思法，實現頓悟。

綜上所述，幾何直觀能力的培養離不開畫圖策略的運用。作為一線教師，需要鉆研教材，幫助學生養成畫圖意識，逐步培養他們運用幾何直觀來描述和分析問題的能力，進而提升學生的數學素養。?

【參考文獻】

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