借題探究·著力策略·提升素養

劉振雄

一、問題的提出

孩子們的數學素質是在解決一道道“好問題”的過程中發展起來的。“設計租船問題方案”是一道與生活實際緊密相連的、有現實意義的問題，也是一道經典開放性的數學問題。在我們的教學中，孩子們對于解決這樣一個數學問題是否感興趣，會運用怎么樣的解題策略，采用不同策略的學生人數各是多少，第一學段和第二學段學生的解題方法是否不同，這些問題并不十分清楚。為讓學生解決一個租船問題，試圖發現學生的解題策略，了解學生對解決這個問題的感受，分析學生的數學應用能力，從而調控我們的課堂教學，使其達到高效。

二、測試的問題、對象和過程

1.測試的問題

三（5）班同學去春游。要組織50名同學去劃船，大船每條可以坐6人，租金10元；小船可以坐4人，租金8元。如果你是領隊人，準備怎樣租船？（請你把所有租船的方法都寫出來）

如果你完成了，請填寫：

你能用 （ ）種方法，第 （ ）種方法你覺得最合理。

*你喜歡這樣的數學題嗎？ （請在相應的括號里打√）

喜歡（ ） 不喜歡 （ ） 一般（ ）

*你覺得這道題難嗎？ （請在相應的括號里打√）

很難（ ） 比較難 （ ） 不難（ ）

2.測試的對象

按照現行的北師大版教材，深圳市三年級以上的學生已經學過整數的四則混合運算：知道乘除法的有關應用題的計算方法。因此，測試的對象隨機選擇了水庫小學的三四五年級各一個班。人數分別是50，52，54人，共計156人。年齡分布在8—11歲之間。

3.測試的過程

2018年11月8日下午，在學生不知情的情況下，由調查者組織進行測試。不給學生任何的解題提示，教師也不用讀題，直接讓學生獨立作答。那么，學生在整個解題過程中，都是獨立完成的，不能相互交流，在這樣的過程中，基本反映出學生獨立解答這道經典生活開放題的水平。三年級學生做題時間為15分鐘，四年級學生做題時間15分鐘，五年級學生做題時間為10分鐘。

三、測試結果及分析

1.三、四、五年級有85%以上的學生至少能用一種方法解答這個問題，12%左右的學生不能解決這個問題。在對學生的解題試卷批改過程中，我們發現：三-五年級的學生用正確方法解答的比例是：三年級43人，占86%；四年級45人，占86.5%；五年級49人，占91%。從數據說明這個年段的學生絕大多數有基本的知識和經驗，運用已有的能力獨立地解決問題，并可以找出至少一種解決問題的方法。

三、四、五年級分別有14%（7人），23.5%（7人），9%（5人）的學生不能解決這個問題。分析學生全錯的原因有：

①有個別學生題意不清，理解能力較差。如：題目問“怎樣租船？”學生卻回答大船每條可以坐7，10，9，8人，小船可以坐3，5，2，7人，與已知條件“大船每條坐6人，小船每條坐4入”相違背，不理解題的意思。

②沒能將數學知識與現實生活相結合

如，三年級某學生A，設計小船0條，大船8條，總計80元，而題目是“組織50人去劃船，大船每條可以坐6人”，照這名學生的安排，尚有2人無法上船。

四年級某學生B，大船：50×6×lO=300×lO=3000（元）；小船：50×4×8=200×8=1600（元），按此題意是一人坐一條大船或一人坐一條小船，這也不符合實際，可見這些學生對于數學知識，只能答題，不能解決生活中遇到的數學問題。

③ 對題意不夠理解，出現簡單算錯的問題

如，四年級學生C： =5（條）……lO（人）答：大船1條，小船5條。三年級學生D：2×6=12（人），20元，50-12=48（人）， =12（人），32元，20+32=52（元），答：我要準備4條小船，2條大船共52元。這些都是在計算上出了問題。

2.三、四、五年級學生正確解題方法的數量存在著一定的差異

在小學三-五年級中，一些學生能夠運用數學思維，善于思考，給出多種租船方案。有些學生卻只能給出單一的方案，不同年級之間給出不同方案的數量也不一樣，如下圖。

數據可以反映出：同一一做題時間（15分鐘），三年級正確解題方法數量少于四年級：不同做題時間，三年級正確解題方法數量還是少于五年級（9分鐘）。三年級學生的解題策略與四、五年級相比要單一些，往往只會從比較單一的角度去思考問題。能用5種或5種以上的方法解答的三年級學生約占5 3%，四年級學生約占42 1%，五年級學生約占10%。說明三、四年級學生思維多樣性比例相差較大，可以肯定這是兩個不同的發展水平階段。四年級平均每人解題方法的數量為3 3種，五年級是2.6種，四年級用5種或5種方法以上的百分比比五年級高22%，可以發現，不同做題時間能影響四、五年級之間的解題數量，因此，這兩個年級思維相差不大。

3.四、五年級學生思維已具靈活性，解題策略呈現多樣性

在有1種或1種以上的解答方法的137人中，出現了以上10種不同的方法，體現學生獨立解決問題是具有個性的。其中使用方法5的學生占了70.1%，可見較多學生的解題策略是從已知條件中的數字角度去考慮，如6×5=30（人），4×5=20（人）或 =10（人），正好除盡，說明絕大多數的學生在解決數學問題時，更側重對已知條件數是否剛好計算來考慮，而不是對整個題意的理解。同理，使用方法3、方法7的學生分別占了55.2%，59.7%，也都是剛好坐滿，沒有多余的座位，這是一種思維定勢（平時“數學題”計算大多是正好的）。其他的方法使用次數在10.4%至17.9%之間，這個數據表明，少數學生考慮問題思路開闊，思維靈活，但從總體上看，學生的思維變通性很弱。這樣的思維水平值得老師注意和反思。

“先猜后推”型。學生先從其中的一種方法入手，然后進行有序推導，計算出其他方法。如一名三年級學生的解答：

①[猜]6×7=42（人），50-42=8（人），8÷4=2（只）。答：大船租7只，小船租2只。

②[推]6×6=36（人），50-36=14（人），14÷4=3（只）......2（人）。答：大船租6只，小船租4只，由此推導出③，④，⑤，⑥，⑦種。采用這種策略的三年級學生有5人，占10%，四年級學生有2人，占3.8%，五年級學生有10人，占18.5%。采用此種方法的學生一般都能找到4～8種方法，正確率較高。

“列表”型。采用列表格的形式設計方案，有序，簡潔，清晰。采用這種策略的四年級學生有30人，占57.7%，五年級學生有2人，占3.7%。這是一種系列性策略，思維有序，條理清晰。采用這種策略的學生都能用7～10種方法解決問題，是最多的。通過訪談四年級學生，得知許多學生已經做過這樣的題目，所以能很快找出多種方法。

4.各年級學生關注解決問題合理性的認識不夠。

從上表可以看出，學生對方法合理性的認識角度是不同的，出現了6種情況，其中認為方法3合理的學生占28.47%，說明這一小部分學生是從省錢的角度去考慮的。認為方法5合理的學生占25.5%，這一小部分學生是從大船、小船數量同樣多就合理的角度去思考的。

數學中有沒有相對優化的東西，筆者認為肯定是有的，而且數學本身肯定也是要追求優化的。這一道經典開放題——“租船問題”，從省錢角度去考慮，對第三種方法，我們又作了進一步的統計，見表4。

如果要考慮省錢的因素，那么第三種方案比較好。使用這種方法的學生中，三年級占56%，四年級占28%，五年級占54%。使用了這種方法并認為合理的學生中，三年級占28%，四年級占20%，五年級占40%。可見學生從經濟方面考慮合理性能力還不夠，只有一小部分學生有這方面的合理應用意識。例如，一名四年級學生設計：大船30只，小船20只，共用460元，就不符合實際，不合理。

5.題目的難易程度

基于學生對題目的難易有一種直接感受心理，筆者在測試卷最后設計了一些選項，如此調查學生對于解決問題的真實感受。據此，也可以窺見學生對開放題的心理接受度，調查結果見表5。

由表5可看出：三年級喜歡這道經典開放題的學生比例明顯高于四、五年級，三年級認定此題的難度也同樣高于四、五年級學生，有82%的三年級學生喜歡這道題，認為很難或比較難的占了55%。所以，筆者認為，這道租船開放題，對三年級學生來說有一定的難度，雖有86%的學生至少能用一種方法做題，但要求解題呈現多樣性有難度。相對于四、五年級學生來說，此題對三年級學生更有挑戰性，比較適合三年級學生學習。

由于這是一道開放性的問題，學生在解題時入手很容易，所以有一半的學生認為題目比較容易，覺得“把所有租船的方法都寫出來”比較難，如果，不深入有序思考，是很難有10種方法的。通過訪談全對的那名學生得知，他都是用“列表法”設計出10種方法的，這樣的問題，他以前在數學‘‘思維興趣班” 中已經做過，所以很容易。從這個意義上說，這道題如果不是有個別學生學過，很可能沒有一個會設計出10種方法。所以，四、五年級認為很難和比較難的學生占52%和40%。平時教師在教學中，應該重視學生對策略認知的學習，學會有序思考的思維，養成好的習慣。

四、通過“租船問題”的測試和分析，筆者得到以下幾點教學體會

1.三、四、五年級學生已初步建立數感，能聯系身邊具體、有趣的事物進行估算。所以在設計問題時，要適當選擇數的大小，不要用太容易口算的數，使學生只看數的大小，而不去理解題意。

2.多讀題，加強對題意的正確理解。多個已知條件下，學會科學選擇。教會 學生分析題目的策略：一抓、二列、三找、四補。第一，抓題目的問題；第二，根據問題列出主要的數量關系式；第三，找已知與中間問題；第四，解決中間問題。實現2011版數學新課標提出的課堂從原來的“兩基”到“四基”中新增加的“基本方法”與“基本思想”的滲透與落實。

3.要重視培養學生估算、猜測的意識和能力。列表法是數學中最常用的解決問題策略，在課堂教學中我們要舍得花時間有意識滲透教授學生此法的運用。

4.小學生喜歡被表揚，教師應該在他們解答問題時多鼓勵，尊重學生的差異性，并肯定每一種解題表達形式，讓他們敢于思考、敢于表達。教學要具有靈活性，不要把老師或成人的思維方式去影響學生的思維能力，老師要給學生一個獨立思考的思維空間及其創新思維能力。

5.從以前的經驗我們知道，這道題在教學過程中面臨尷尬：思考過程步驟多；數學技能要求高；經驗儲備不充分等。數學教學中要時時考慮數學知識與生活實際聯系，這不僅有利于學生活學活用，還有利于達成數學教育的目的，從而提高學生的數學素養。