數學思考

李秀珍

何謂數學思考？顧名思義，就是指運用“數學方式的理性思維”進行思考。《數學課程標準》2011年版在“課程目標”的“總目標”中明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”另外，在“知識技能、過程方法、情感態度與價值觀”的三維目標框架下，數學課程目標又細化為“知識技能、數學思考、問題解決、情感態度”四個方面。顯然，“數學思考”已經作為小學生數學學習的四大目標之一，并直接指向的是三維目標中的“過程方法”目標。東北師范大學前校長史寧中教授在《談數學核心素養與小學數學教學》一文中談到：“數學核心素養是指具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質。”數學名師顧志能在他的一篇文章中說道：數學的產生，源于人類的思考;數學的發展，是人類思考催動的結果。所以，沒有數學思考就沒有真正的數學學習。數學思考是學生成長成才的核心技能和數學素養的關鍵思維品質。如何在數學課堂教學中培養數學思考？筆者分享幾點經驗。

一、提供思考的范式——學會數學思考

正如事物都具有形式和內容兩個方面一樣，數學思考的引領既要在內容上逼近數學，觸及數學的本質，也要在形式上加以考量。數學思考的范式不是指某道題的書寫格式，而是指這道題是怎樣思考出來的過程敘述。也就是說，教學中我們要從關注思考答案到關注“答案”的思考，在數學的天地里，怎么知道遠比知道什么更為重要。這個范式既包括正向范式也包括負向范式，即教師在指導學生做題時要引導學生說出“我是如何做出來的”，也要引導學生說出“我由于什么問題自己沒有做出來，然后又是通過怎樣的方法自己又想出來的”，特別后者對于學生的意義非常大。同時也要幫助學生學會一些具體的方法，比如，排除法、圖示法、枚舉法、觀察的方法、分類的方法、歸納總結的方法、推理的策略等，并且還要學會怎么合乎邏輯地、準確地闡述自己想法。

如，筆者在上《正比例》一課時，在引出正比例的一個導課環節中，由于學生沒有掌握觀察的方法，在匯報交流時，只說“正方形的周長隨邊長的變化而變化”，當追問是怎樣的變化？學生說不清晰，道不明白。然后在課件的引導下，學生領悟了有序觀察的方法：“從左往右看正方形的周長隨著邊長的擴大而擴大，從右往左看，正方形的周長隨邊長的縮少而縮少，從上往下看……”學生在觀察中比較，在比較中概括，從而發現并猜想到結論。觀察不是凌亂，而是有序的，從左往右、從右往左、從上到下，這就是觀察方法的思考范式。

二、設計有效的課堂提問——激發數學思考

課堂提問是支撐學生數學思考、乃至整個教學活動的有效手段，課堂提問是對所創設的問題情境的逐級細化和深入，是教師激發學生數學思考的直接推手，是引領學生數學思考的指南針。優質的課堂提問，能激起學生主動探究、深入思考的愿望，能給學生創造展現個性思維、發揮創造能力的機會。

有效的課堂提問能引發學生積極思考，達到對知識的學習、方法的探究、問題的解決起到“牽一發而動全身”的效果。如，在學習了《三角形邊的關系》后，出示書本中的一道練習題：從下面5根小棒（分別為3cm，3cm，3cm，4cm，6cm）中任意取出3根，擺出2種不同的三角形。如果在教學中，讀題后就讓學生擺，學生至多就擺出3種不同的三角形，但把題目換個問法，情況就大不一樣了。

師提問：你準備怎樣取小棒，擺出不同的三角形？

生A：我按“任意兩邊之和大于第三邊”的方法找三根小棒，能找出3種不同的三角形。

生B：我按順序排列組合，然后按“任意兩邊之和大于第三邊”的方法一個一個來判斷，也能找出所有的三角形。6cm，4cm， 3cm， （能）;4cm ，3cm，3cm，（能）;6cm，3cm，3cm， （不能）;3cm，3cm，3cm（能）。

師追問：在這一組數據中，你還能發現哪些結論？

生：這5根小棒有4組組合。有一組小棒不能擺成一個三角形，其余3組擺出了一個不等邊三角形，一個等腰三角形和一個等邊三角形。

看似一道簡單的練習題，教師的有效變式提問，開啟了學生的思維，既活躍課堂氣氛，又拓展學生的視野，還充分發揮了這道題在培養學生思維能力方面的作用。首先，達成了這道題的最低要求“擺出兩種”，達到了運用知識解決實際問題的最基礎要求;其次，對5根小棒進行有序排列，強化了有序思維意識。既對知識點進行了鞏固，又內化了知識，結成了知識網絡，促進了學習的靈活性，培養了學生思維能力;其三，最后的追問，讓學生的思維達到高潮，從另一個思維角度來認識同一問題，發現了現象背后的數學道理，培養了學生用數學概念來解釋現象的能力和求異思維能力。

三、保證充裕的探究時間——深化數學思考

教育，作為一種慢的藝術，需要留足探索的時間和空間，需要有舒緩的節奏，需要靜聽“思維花開的聲音”。數學家陳省身也說過：“數學是自己思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果……”課堂上，僅灌輸題目怎么做，而不容學生思考的時間，那是練習聽寫，對于學生是沒有任何幫助的。但為了完成教學進度，教師往往會不斷“壓榨”學生獨立思考的時間和空間，剝奪學生本來需要經歷的思考過程。沒有體驗、沒有感悟，不可能內化。所以“問題提出后先讓學生想一想，疑問產生時先讓學生議一議，例題出示后先讓學生試一試”。更重要的是，教學中的“引領性問題”不應太多，而應努力做到“少而精”，從而使學生深度思考，充分交流，讓多元表達成為可能。

如，在教學四年級下冊第二單元“認識三角形和四邊形”的第一課時“圖形分類”，筆者設計了兩個“引領性問題”貫穿了整節課：一是在回顧已經學過的各種圖形后提出第一個問題：這些圖形雖然形狀各異，但彼此之間都有聯系，你們能根據它們之間的聯系進行分類嗎？二是在經歷三次分類操作活動的基礎上提出：如果將大橋支架的三角形換成平行四邊形或其它圖形，把伸縮門的平行四邊形換成三角形將會出現怎么樣的情況，請同學們大膽猜想一下，并動手驗證。整節課學生圍繞兩個“引領性問題”“動”“思”結合，在擺一擺、分一分、圈一圈、填一填、拼一拼、拉一拉、說一說中經歷了三次的分類活動和一次三角形穩定性的探究活動，學生在活動中經歷了比較、分析、綜合、歸納、推理等思考過程，厘清了幾何圖形知識結構，理解了圖形的特性，形成了技能，獲得了情感體驗。當學生思維遇到障礙和矛盾，不能進一步深層次思考時，筆者再通過追問的形式，如，“你是按什么標準分類的？”“根據平面圖形和立體圖形的特點，誰來說說這立體圖形和平面圖形之間有什么關系呢？”“為什么三角形就穩定呢？它里面又有什么秘密呢？”從而讓不同學生的想法“暴露在陽光之下”，在師生交流，生生互動，思維碰撞和成果展示中，讓不同學生的思考成果轉化為全班的共同智慧。

數學思考，是數學核心素養不可缺失的一塊拼圖。因此，教師必須將“數學思考”目標作為課堂教學設計與實施的一個基本出發點，不斷將學習的重心從數學知識技能的獲取遷移回歸，聚焦到數學思考能力的培養上，最終達成“啟其心智，開啟慧根”這一目標，這是我們數學教師的責任和使命所在，任重而道遠。

參考文獻：

[1]教育部.數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012：8.