高三復習教學設計與反思

趙敏華

【摘要】在課程改革、素質教育的指導思想下，準確把握高考數學的命題特點、發展趨勢是提高復習效率的必要條件，這不僅使得高考備考更有針對性，而且為高三學子減負也起到積極的作用。空間幾何體的三視圖，作為課程標準即將刪除內容之一，在2019年高考舞臺上依然肩負著“直觀想象”核心素養達成使命，面臨新舊交替的尷尬，如何做好高三文科數學復習，準確把握新高考動態，是每位一線高三數學教師值得深究的重要課題。

【關鍵詞】高三文科數學；新課標；空間幾何體；三視圖

一、問題背景

2018年1月16日，教育部頒布普通高中課程方案和課程標準（2017年版），2018年秋季執行。新舊課程標準對比，本次修訂的幅度比較大，既有增加內容，如數學建模、數學探究等，也有刪減內容，如算法初步、簡單的線性規劃問題、三視圖等，還有降低要求內容，如計數原理、圓錐曲線與方程按原文科要求處理等。

作為一線的高三教師，最關心的當然是新課標對今后高考的影響有哪些？特別是即將到來的2019年高考。不難發現，2018年秋季才開始實施的新課標，使得2018、2019、2020這三年的高考都將面臨新舊交替的尷尬，如何做好高三數學復習，準確把握新高考動態，是每位一線高三數學教師需要深究的重要課題。

二、案例呈現

空間幾何體的三視圖，這塊內容在新課標中是刪除內容之一。回顧2018年高考全國卷，筆者發現，它依然活躍在考題中，2018年高考全國卷Ⅰ（文科）第9題，2018年高考全國卷Ⅲ（文科）第3題，都考察了空間幾何體基本結構的三視圖，不偏不怪，立意考察直觀想象核心素養。引人注目的是2018年高考全國卷（文科）Ⅲ第3題中融入了古代數學文化背景，著實讓人眼前一亮，高度吻合了新課標中提出的重視數學文化這一要求。顯然，2018年高考已有新課改的體現與落實，值得一線高三數學教師關注。

1.教學設計思路

①教材分析

展望2019年高考，高三文科數學第一輪復習中《空間幾何體的三視圖》這塊內容該怎么進行備考呢？舊版《數學課程標準》要求“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化”，因此，筆者認為，三視圖一般屬于中低檔題，要求熟悉常見幾何體基本結構的三視圖，并能還原所表示的立體模型。根據近年來高考中數學文化的滲透，可以適當地補充相關的古代數學文化，增添學習的趣味性。例如《九章算術·商功》中，“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。”意即取一長方體，斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵（底面是直角三角形的直棱柱）。

再沿塹堵的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個。以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為“陽馬”。余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”。

“塹堵、陽馬、鱉臑”分別是三棱柱、四棱錐、三棱錐的典型代表，而它們又都是從長方體模型中裁切而得，這不正是我們高三復習課《空間幾何體的三視圖》教學設計的好素材嗎？

②學情分析

授課班級為高三文科普通班，雖然歷經初中、高一必修2的《立體幾何》學習，文科生通過實物和模型，已經有了初步空間觀念的體驗，懂得借助直觀圖來搭建通往感性認知向理性認知轉化的橋梁，但由于生活體驗有限，大部分文科生還是深感空間形象感知力匱乏，尤其是三視圖還原空間幾何體直觀圖普遍感到迷茫。

再者，學生對三視圖形成的原理，停留在“長對正，寬相等，高平齊”的口訣上，并沒有真正理解其實質意義，導致求棱長、表面積、體積時使用數據時出錯，得不到正確的答案。

2.教學目標

①理解三視圖產生的原理；

②會畫簡單空間圖形（長方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等的簡易組合）的三視圖；

③通過觀察、分析，識別三視圖并能還原所表示的立體模型。

3.教學重點和教學難點

①教學重點：畫出簡單空間圖形（長方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等的簡易組合）的三視圖；能識別上述三視圖并能還原所表示的立體模型。

②教學難點：三視圖的形成原理、還原幾何體。

③教學過程：了解空間幾何體的三視圖在近年高考中的地位。空間幾何體的三視圖的辨析是高考的熱點內容，一般以選擇題或填空題的形式出現。常見的命題角度有：①已知幾何體，識別三視圖；②已知三視圖，還原幾何體；③已知幾何體的三視圖中的某兩個視圖，確定另一種視圖。

三、學習新課

1.三視圖的概念

①光線從幾何體的前面向后面正投影所得到的投影圖，叫做幾何體的正視圖。

②光線從幾何體的左面向右面正投影所得到的投影圖，叫做幾何體的側視圖。

③光線從幾何體的上面向下面正投影所得到的投影圖，叫做幾何體的俯視圖。

設計意圖：通過動畫演示，回顧基礎知識，引導學生體驗三視圖形成的原理過程，借助長方體的展開圖來形象感知，觀察對比找到三視圖的度量準則：長對正、寬相等、高平齊，為進一步求空間幾何體的棱長、體積、表面積等做好準備。

2.簡單幾何體的三視圖：①棱柱的三視圖；②棱錐的三視圖；③棱臺的三視圖；④旋轉體的三視圖

動手試一試：《九章算術·商功》中，“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。”意即取一長方體（假設長寬高分別為3，2，1），斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱（※塹堵），再沿這個三棱柱的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐（※陽馬）和三棱錐（※鱉臑）各一個。請畫出它們的三視圖并標出對應的長度，其余的僅需作出對應的三視圖。

設計意圖：復習簡單幾何體的基本結構，并根據三視圖的度量準則，畫出三視圖標出對應長度，直觀地體會直觀圖與三視圖的聯系與區別，為后面的三視圖還原幾何體做好充分的鋪墊。引入古代數學文化背景，其中的“塹堵、陽馬、鱉臑”即為學生熟知的特殊的柱體、錐體，接近學生的認知最近發展區，容易激發學生學習的興趣。

3.高考題型分析

題型1：已知幾何體，識別三視圖。

例1： （2018年高考全國卷文數Ⅲ3）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭。若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是 。

變式1：（2018·惠州調研）如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的側（左）視圖為（ ）

設計意圖：根據幾何體特點，引導學生把幾何體置于正方體來確定三視圖，領會三視圖產生原理，注意區分虛實線的來由。讓學生經歷由點的投影再到線的投影，最后得到的就是面的投影的過程，其最本質的東西就是先把握好點的投影。

題型2：已知三視圖，還原幾何體。

例2：（2018年高考全國卷文數Ⅰ9）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖。圓柱表面上的點 在正視圖上的對應點為 ，圓柱表面上的點 在左視圖上的對應點為 ，則在此圓柱側面上，從 到 的路徑中，最短路徑的長度為 。

變式2.（2017·浙江高考文數3）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是 。

設計意圖：結合前面的簡單幾何體的結構特征與三視圖原理的回顧鋪墊，引導學生抓住三視圖特點，還原幾何體（組合體），并聯系三視圖中的點（或長度）與幾何體（組合體）對應點（或數據）的關系，達到解決問題的目的。

例3：已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個側面中面積最大的是 。

A.3 B.2 C.6 D.8

變式3.（2017·北京高考理數7）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為 。

設計意圖：已知幾何體類型（四棱錐）結合三視圖還原幾何體，可以先確定底面在哪，找出四個頂點，再確定最后一個頂點即可。結合三視圖，把它嵌入邊長為2的正方體中，容易求出需要的面積與長度。例3是常規的四棱錐（錐體頂點在上方）放置，變3是側放的四棱錐（錐體頂點在左邊）放置，目的為了讓學生注意觀察，不同的放置的方式其三視圖是有差異的。

4.拓展提升

（2017·北京高考文數6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 。

設計意圖：由變3的慣性遷移，學生容易思維定勢審題不清，直接定位它是一個四棱錐，導致錯解。引導學生留意俯視圖的虛線，必須有遮擋才有可能是虛線，所以肯定不是四棱錐，結合題意，這是一個三棱錐，由正視圖與側視圖可斷定一個頂點的位置，其余三點的投影應該落在俯視圖中，可以嘗試在長方體中還原三棱錐剩余三個頂點的位置。

5.總結提高

從高考命題角度上來看：①已知幾何體，識別三視圖；②已知三視圖，還原幾何體；③已知幾何體的三視圖中的某兩個視圖，確定另一種視圖。歸根結底，就是要掌握空間幾何體的直觀圖與三視圖的相互轉化，由于高考要求并不高，因此更應該把重心放在常規轉化，舍棄奇、難、怪的題目。

四、回顧與思考

1.滲透文化，激發興趣

教育部《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求“充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用”，并提出“在數學試題中增加數學文化的內容”，以及近年來，高考數學試題中開始滲透數學文化，如，2015年湖北理科卷19題；2015年新課標全國卷Ⅰ（理科）第6題都與空間幾何體有關，雖然它與數學問題之間的聯系不大，但對學生拓寬數學視野，認同“數學是人類文化的重要組成部分”有著積極的意義。

2.歸納總結，突破難點

培養學生的直觀想象力是六大核心素養之一，《空間幾何體的三視圖》對學生進一步提高空間想象能力和幾何直觀能力有重要的促進作用，學生通過數學活動“實物模型——三視圖——直觀圖”這樣的一個轉化過程認識空間幾何體是培養學生空間想象能力的有效途徑。而借助長方體（正方體）來還原幾何體，是對平行投影（三視圖）的深刻理解，較好地突破了三視圖還原直觀圖。

3.立足課標，服務高考

高考備考往往是細節決定成敗，因此，研讀課標和考綱，從考情學情出發，從整體上把握高考動態，以經典例題為主旋律的復習課教學設計一直是筆者的著力點，只有教師鉆進題海，才能把學生從題海中解放出來，實現課堂高效，才能有備考成果。如何更好地掌握學情，在學生已知與未知的基礎上建架適當的橋梁，需要在后續階段深入研究。

參考文獻：

[1]郭明嫻.走進鱉臑幾何體，增長數學文化知識[J].高中數理化，2017（23）：6-7.