新課程標準下高中數學解題學的研究

邵亞雄

摘 要：在高中數學解題活動中，策略意識至關重要。本文以新課程標準下高中數學解題學的研究作為選題，對常用的高中數學解題策略進行了分類，分析一般性策略與特殊性策略在解題活動中的作用與價值。在此基礎之上提出了高中數學解題策略教學的若干建議。

關鍵詞：數學;解題;策略;有效提問

一、高中數學解題策略的類型

（一）一般性策略

一般性策略是指思考問題的一般法則，具有概括性，同樣適合于其他學科。主要有：模式識別、差異分析、化歸轉化等策略。

（二）特殊性策略

在解題中，還常用到數形結合、動靜轉化、分行并用、進退互化、正反相輔、有效增設等具體的策略。這類策略的使用有明顯的指向性，教學中要注重基本問題的結構特征分析，以及何時使用這些策略。

二、高中數學解題策略的教學

（一）高中數學解題策略的教學是一個螺旋式上升的過程

例如在數學概念形成的初級階段，教師充分揭示數學知識之間的聯系，對問題進行多角度分析，有利于學生模式識別的積累，提高學生解題策略使用的靈活性與變通性。以平面向量數量積的概念教學為例，筆者在聽課過程中，發現例1經常被教師使用，目的是加強數量積定義以及平面向量夾角定義的鞏固。

（二）高中數學解題策略教學的時機問題

在學生解題思路受到障礙時，進行策略意識的教學，有利于學生理解解題策略，能提高學生思考問題的能力。解題策略的教學應在科學診斷學生策略水平的基礎上采用啟發式教學。先學后教，暴露學生的思維過程，有針對性的進行策略教學。

【例1】正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是線段（不包括端點）CC1，BD上的點，PQ∥ABC1D1，記CP=x，四面體PQA1B1的體積為y，則y關于x的函數大致圖象是（? ）

這是一道高三模擬卷中的選擇題第10題，屬于難題。通過調查，發現學生的解題策略水平有以下幾個層次：

層次1、知道要畫圖，但是不能探究PQ的本質特征，想不到作輔助平面，而考慮一些特殊的，雖然四面體的體積容易計算，但對排除選項沒有任何幫助;

層次2、能作出時或者一般情況下的圖象，但對四面體的體積計算沒有思路，無法想象隨著x的變化，四面體的體積是如何改變的，不能將體積轉化。

畫圖與求體積是該題的關鍵。如圖2-1，過點P作PM∥BC1，過點M作MQ∥AB交BD于點Q。可以提出以下問題：我們要畫的圖有什么特征？取一個特殊位置試試看對我們畫圖有幫助嗎？以前有處理過直線與平面平行的作圖問題嗎？與直線與平面平行有關的定理有哪些？它們能幫助我們畫圖嗎？從而引導學生運用模式識別策略。

對于層次2的學生，要分兩種情況，對于找到中點的學生，要引導他們運用選項提供的信息。可以提出以下問題：當時，你能求出它的體積嗎？求三棱錐的體積一般有哪些途徑？求出的體積能幫助我們選擇正確選項嗎？或者排除錯誤選項呢？目的是引導學生從同底等高或者直接計算或者利用空間向量的方法來求當時四面體PQA1B1的體積，實際上，當x=1是，V=，當，V=，而，因此函數大致圖象不可能是BCD，所以正確答案是A。當然，從到x，求解類似。

（三）高中數學解題策略教學應以融入式為主

學生掌握解題策略，需要在領會解題策略的基礎之上進行多類型的解題實踐，即理解與練習相結合，主要有融入式與獨立式兩種方式。

一般性策略的教學應與具體的解題教學相結合。例如在立體幾何證明題教學時，融入“雙向推理”、“執果索因”、“假設問題已經解決”、“子目標”等策略的教學，能有利于學生找到解題思路。

【例3】如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。求證：PB⊥平面EFD。

這道題目的證明需要進行多次的直線與直線垂直、直線與平面垂直的轉換，學生不易想到。利用執果索因的策略能順利找到證明路線：要證PB^平面EFD，則只需證明PB^EF（已知）和PB^DE或者PB^DF（這兩個垂直肯定成立的，但是需要待證），聯系到已知條件DE^PC，子目標鎖定證明DE^平面PBC，只要證BC^平面PDC，從而找到證明思路。

（四）有效提問，促進策略性知識的吸收

學生解題思路受阻，很大程度上是因為他不能科學地調用原有的知識與經驗，即缺乏科學的策略性知識。教師通過追問、回應等提問方法，引導學生進行“模式識別”、“從特殊情況開始”、“差異分析”、“差異消除”、“化歸轉化”等策略性思考，從而找到正確的解題思路。教師有效的提問，能讓內隱的策略性知識突顯在學生面前，能促進學生對策略性知識的吸收與運用。

結束語：在解題教學中，教師不僅要教學生如何解題，還要教學生如何想到那樣解題，即思考的方法——策略性知識。正所謂“授人以魚，也授人以漁”。高中數學解題策略的教學是一個系統工程。由于策略知識的特殊性，對高中教師診斷、教學都帶來難度。如何有效地進行高中數學解題策略的教學有待進一步深入研究。

參考文獻

[1]上官德運.談在高中數學教學中學生數學思維能力的培養[J].中國校外教育，2019（32）：62-63.

[2]何雪琴.高中數學教學中學生解題能力探究[J].課程教育研究，2019（40）：212-213.

【項目基金】本文是甘肅省“十三五”教育科學規劃課題《新課程標準下中學數學解題學的研究》（課題立項號：GS[2017]GHB1792）的研究成果