基于認知負荷理論的數學教學策略

王雪瑩

【摘要】本文以現代認知心理學的一個重要理論——認知理論為依據，闡述數學學習困難的原因，并提出相應的數學教學策略。認知理論總的核心觀念是每個人的記憶容量有限，其中工作時用到的工作記憶容量有限，但是儲存知識的長時記憶卻又是無限的。從認知理論的角度來看，學生由于在學習數學中所負擔的負荷超過其工作記憶的容量，所以導致數學學習困難。本文基于認知負荷理論提出以下幾點數學教學策略：教師充分做好任務分析，備好學生和教材;提供先行組織者，回顧舊知識，搭好腳手架，做好章前復習;增加樣例學習;多樣的呈現方式，調用多感官;在解決問題之前，提供支持性信息幫助;加強小組合作;放慢節奏，促進自我解釋，建構圖式;變式練習，促進圖式建構。

【關鍵詞】認知負荷;工作記憶;數學教學策略;圖式

隨著教書年限的增多，教師會有強烈的對比，會發現越來越多的學生學習數學越來越困難，厭學數學越來越多，學生的數學素養一屆不如一屆。學生會覺得數學越來越難學主要是工作記憶缺陷，學科知識不扎實，沒有形成完整的知識結構和自動化的圖式。從認知負荷的角度來講，就是學生所接受的認知負荷超過學生本身的認知承受能力范圍。本文從認知負荷理論的角度，初步提出促進數學學習的教學策略。

一、數學認知負荷和認知負荷理論的教學原則

1.認知負荷理論和數學認知負荷

認知負荷是指學生在接收新知識或完成各項任務中對相關的內容進行加工，這個過程中所需要的認知資源的全部。認知負荷理論認為認知負荷包括由于學習材料的難度或任務復雜以及個人知識結構決定的內在認知負荷，學習內容組織順序或呈現方式等的外在認知負荷，以及學習者本身認知結構等的相關認知負荷。而數學認知負荷，是指學生在數學學習中，工作記憶需要注意和處理的數學內容，信息的總和。

2.認知負荷理論的教學原則

認知負荷理論的主要觀點是：①人的總的記憶包括容量有限的工作記憶和容量無限的長時記憶，兩者的容量性質不同;②存儲于長時記憶中的知識如果是以圖式的形式存在，組塊化，長時記憶將會更加穩固。圖式的構建能幫助降低工作記憶的負擔;③為了構建圖式，學習者接收的各種信息在工作記憶中進行提取并操作，最后各種信息以圖式形式存儲到長時記憶。基于以上觀點，本文提出數學學困生教學一些教學策略。

二、數學學習因何而“難”

學生覺得數學難學，一方面在于數學知識抽象，難以理解，知識之間零散，沒能建立成一個系統，形成一個穩定的圖式，占用大量工作記憶資源。在解題中難以提取，并應用到新的問題情境中，超過工作記憶的容量，考試成績低下。

第一，在數學知識量方面比較缺乏。對于數學教學中的涉及到基本知識，甚至是對某個概念中某個關鍵詞理解出錯或者不理解。面對數學問題解決，往往只是從表面去表征問題，容易造成混淆錯誤。

第二，在數學知識提取方面覺得困難。眾所周知，數學前后知識聯系緊密，如果新知識與舊知識聯系相對比較少，學生學習可能還好一點。但是當涉及需要舊知識為基礎的新知識時，學生會有更大的困難。主要原因在于，學生把學過的數學知識“忘記”，即是新舊知識已經“斷鏈”，出現斷裂。實質上新舊知識沒有打通，新知識沒有被納入舊知識體系，沒有形成一個穩定的“網”。舊知識也沒有形成一個穩定的圖式存儲在長時記憶中，所以學習新知識時，難以從舊知識上提取有關信息，也難于和新知識進行正確的連接和遷移。

第三，在知識的運用方面覺得困難。對于常規熟悉的問題時，學生能根據問題中的某些詞或句子，去努力回憶平時的解題過程中遇到的相似情景或題目，試圖靠僅有的記憶去模仿解題的方法和步驟，這個過程需要耗費大量的工作記憶，影響解題過程中其注意力的分配，停留在淺層的模仿，如果題目稍微變形，往往會出現錯誤，或者不會做。所以，如果不回顧復習，遺忘率和出錯率會隨著時間的延長會越來越明顯。而面對陌生的題目，如果沒有相應的經驗和相關模型存儲于大腦中，平時缺少經歷這樣一個過程，更是毫無頭緒，無從下手。

三、基于認知負荷理論下的數學學困生的教學策略

1.內在認知負荷和數學教學策略

（1）內在認知負荷

內在認知負荷就是內容復雜，任務的難度或個人知識認知結構缺陷導致學習過程中施加在記憶的認知負荷。由于學習內容復雜或任務難度大引起，施加在工作記憶的認知負荷就是外在型的內在認知負荷;由學生個人的認知結構缺陷或不穩定引起的認知負荷就是內在型的內在認知負荷。

①外在型的內在認知負荷

材料的難度，學習者需要耗費大量的記憶容量去理解材料中的各個概念的意思，需要理清各個部分之間的關系，需要在大量的信息中提取有用的信息，在信息中表征問題，從而影響問題的解決。減少外在型的內在認知負荷策略——教師充分做好任務分析，備好學生和教材。減少外因決定的內在認知負荷策略就是確定數學教學最終目標，了解學習者起點能力，分析使能目標。教參對于每個單元都給了一定的目標，而這些目標表述是簡潔明了。落實在每一節中，就應該有更具體的目標。作為教師，應該充分將數學教學目標再細化，并且陳述具體化，可操作化。教師備課中除了要關注本節課的最終目標，關注學生原有的認知結構，為學生的原有認知結構和最終目標搭建腳手架，即使能目標。盡可能將整個教學設計細化成具體的小目標，尤其是數學學困生的起點能力，教師應該有更多充分的預設，和經驗的積累，讓每一節的脈絡在教師心中清晰。

以下是勾股定理的教學分析：

②內在型的內在認知負荷

由于每個學生對知識的掌握和認識成都不一樣，經驗不一樣，習慣看法不一樣，也就是說認知結構的廣度和深度兩維都不相同，所以不同的學生接受新知識的快慢也會不一樣，認知也不一樣。心理學家認為，及時加工處理和存儲信息有利于建構知識，減少負荷，否則，延遲記憶不利于認知結構的完整構建。越豐富越統一的信息整體，越穩定的認知結構越有利于長時記憶的存儲和組織，從而降低記憶負荷。相反的，如果學習者的認知結構比較單一、分散、孤立，那么在學習過程中，需要臨時建構圖式，就會延遲記憶，加大記憶負擔。更甚至數學學困生會出現知識的斷鏈，舊知識對于他們來說也是新知識，需要占用一定的記憶容量，增加認知負荷。

基于內因決定的內在認知負荷——做好章前舊知識回顧，幫助數學學困生鞏固知識結構。減少內在型的內在認知負荷的數學教學策——提供先行組織者，做好章前復習。對每一章中需要用到的舊知識進行復習，喚醒學生長時記憶中有關圖式，幫學生建構舊知識避免因為舊知識的斷片而影響新知識的學習。每學習一個新單元，把本單元需要涉及到的舊知識用完整的一節課復習一次。這樣做的好處是，避免學習新知識時由于知識結構的斷層而鏈接不上，或者對于數學后進生，由于都是舊知識，或多或少在他們的腦海中留些一些痕跡，當再次提起時，也是一個再次知識再提取的一個過程。復習中不是增加新的知識點，而是梳理知識，形成一個比較清晰穩定的認知體系和認知結構，有利于長時記憶。對記憶來說，是在減少內在認知負荷。

下面是一元二次方程的章前復習：

1.觀察方程：2x=1;3x+2=x-4;2（x+2）-3（x-1）=0它們所含未知數的個數是多少，并且未知數的最高次數是多少，所以這樣的整式方程叫做什么。

2.下列方程哪些是一元一次方程（? ?）

（1）5x+3=0，

（2）2x+y=3

（3）

（4）

（5）x2-2x+1=0

3.解方程3x=2（x+5）

4._____;（-32）_____;

5. 25的平方根是____;記作=____;

6.化簡： ;;

7.化簡：（x-1）2=_____;（2x-1）2=_____;

（a+1）2=______;（x-3）2=______;

（x-4）2=______;（3x+2）2=______;

8.因式分解：x2-5x=_____ ;2x（x-3）-5（x-3）=_____;

9.求出下列各式中的x.

（1）x2=49? ? ? ? ?（2） 9 x2 =16

（3） x2=6? ? ? ? （4） x2=-9

（2）外在認知負荷和相應的數學教學策略

外在認知負荷，比如學習內容的組織順序和教師講授的呈現方式混亂，無關信息太多等，學習者需要占用大量的認知資源去接收和辨析，對學生沒有起到直接的影響和效果，這時就會產生額外的負荷。外在認知負荷占用耗費了學生數學學習的工作記憶容量，不利于數學學習。

①增加樣例學習

心理學家認為：“理解和模仿自己或者他人的行為對一個人來說是輕松的。”教材中“例題+分析+解答”實際上是一個原理方法樣例，能讓學習者快速獲得技能。同時，樣例學習就是教師給出一個正確的規范的示范，學生依樣畫瓢，可以免去更多嘗試錯誤學習，把注意力工作記憶重點指向學習有關的部分，從而騰出工作記憶容量去進行知識的內化和遷移學習。對于數學學困生，樣例提供一個模仿的模版，通過數學樣例模版學習，學生從模仿開始，到初步建構基本模式。再通過一定量的訓練，達到一個熟練的程度，當再次回憶時或運用時減少再次提取時需要消耗的工作記憶，為解決新問題創造更好的空間。

②多樣的呈現方式，調用多感官

數學知識的一個重要特點就是抽象性，單純的文本呈現，學生平分記憶資源去關注，抓不住重點，耗費工作記憶容量，造成記憶負荷。多感官的一起調用，可以減少文本帶來的記憶負荷。像函數代數式等抽象知識，教學中筆者要求學生根據解析式畫出函數草圖，數形結合，根據草圖去學習函數的性質。當要求學生思考課本的例題時，盡量配以聲音解說，如教師的語言提示，簡短的文字說明等，提問關注圖形中的重要信息。對于概念定理的呈現，教師則可以通過語速或者語調，停頓，音量等，引領學生眼、耳、腦、心并用，關注關鍵詞，把握本質，提高辨識能力。對于需要數形結合的問題，當文字、符號、對應的圖形各種信息比較分散時，學生需除了要看文本，看圖形，還要把文字和圖形串聯起來，轉化理解，就會占用大量的工作記憶，引起大的認知負荷。如果把題目中有關條件和信息標注在圖形中，符號放在靠近它描述的圖形中對應的部分時，可以減少認知負荷，獲得更快的解題思路和方法，即在知識提取方面更有幫助。目前，微課教學，整合了聲音和文字，圖形，也是一種好的數學內容呈現的方式。學生根據教師提供的視頻提前預習新的知識，可以完成工作記憶對知識的初步建構和加工.課堂上節省了大部分時間用于知識的建構，課堂上主要用于解答學習者的學習困惑，糾正錯誤理解，完成知識結構的進一步建構.微課教學，引導學習者關注學習的重點，增加動畫效果，形象直觀，減少學習者將文本轉化理解所耗費的工作記憶，減少外在認知負荷。但是微課視頻中信息內容相對比較多，信息很快過，所以要引導學生在合適的時機關注合適的地方。或者要挑選能在難點的地方放慢節奏，給學生思考的視頻教學，讓學生有時間思考。

③在解決問題之前，提供支持性信息幫助

問題可分為簡單問題和復雜問題。簡單問題開始之初，應該盡可能使其熟練，達到自動化程度，從而減少加工時占用的認知資源，使之成為學生的圖式結構穩定下來。在學生熟悉之后還給出支持性信息，就會變成負荷。對于復雜問題，如果為其提供一定的幫助信息，可以促進其問題解決。對于專有知識，針對問題提示和經驗性的方法提供。因為給出啟發，學習者不一定會得到正確的答案。研究表明，這些支持性的信息在學習者問題解決過程中呈現，發揮的作用有限，難以促進圖式的建構和問題解決能力的遷移。因為支持性信息有同樣高的認知負荷。如果在學習者學習過程提供支持性信息，學習者需要將注意分散在學習任務和支持性信息兩部分，會增加工作記憶的負荷。更高效的方法是，在學習任務開始之前，分析支持性信息的內容，在長時記憶中建立起一定的認知圖式，在學習過程中只需要把已有的圖式激發即可。比如，在證明線段相等時，提示有哪些方法可以證明線段相等，如全等，等量代換，平行四邊形性質，等角對等邊等。求線段長度，有哪些方法可以求，如勾股定理，等量關系，相似，等面積法等，給學生指明證明的一個方向。又比如，在代入消元解二元一次方程組 ，如果學生沒有經歷代入消元這個過程，學生不易接受消元的想法，而且即使是經歷過，沒有達到一定量的時候，也難以內化成自己的知識結構去。

呈現二元一次方程組。讓學生先不急動手，而先提示：本題表面看是兩個未知數，但實際上只是不知道誰的值？你是怎樣求解出來？代入之后發現方程有幾個未知數？你會求出該方程組的解？學生解出該方程之后再給出另一組二元一次方程組，同樣，引導學生關注這兩道不同。

方程①是什么意思？上一個小題給你什么啟示？然后可以讓學生自己嘗試去解方程。

④加強小組合作

認知腦科學，科斯科訥等人的研究表明把復雜的任務分配給幾個學習者減少個人的認知負荷。小組合作中人數越多，不僅僅相當于工作記憶的容量簡單增大，長時記憶的寬度變大，而且小組成員之間的認知結構可以互相互補，形成更穩定的結構。所以，合作小組的個體可以減少負荷，并且，學習任務越復雜有效。眾所周知，一次函數圖象的性質，比較抽象，對于優生或后進生來講，沒有充分經歷這個過程都是一個難點。因為他們第一次接觸到表達式中涉及兩個變量，需要用控制變量法研究問題。筆者教學中，嘗試更多地學生畫出不同的一次函數的圖像，提供的函數越多，越有利于學生發現和歸納總結規律，學生接受度會更強。提供的圖像必須具有一定量，才有對比可言，所以課堂上花的時間比較長。曾經一個教師是這樣處理本節課，比較成功。學習一次函數圖象的性質時，本節課先讓學生回歸正比例函數的解析式，圖像和對應的性質，然后讓學生通過畫以下一次函數的圖像（1） （2）? （3）? （4） ，猜猜想一次函數圖象與k，b的關系。 然后，根據猜測，同組同學畫分別寫出不同情況下的一次函數解析式，并畫出其圖像，驗證猜想。這樣學生自己想的函數，自己去驗證，不同學生完成不同的驗證，分擔了認知負荷，提高效率。

2.相關認知負荷和相應的數學教學策略

相關認知負荷是指學習者根據自己原有的認知結構，自主地把新知識納入已有的認知結構中，形成新的圖式，或者當遇到問題時，自動地從自己地認知結構中去提取圖式所需要工作記憶。在學習過程中，相關認知負荷是通過對比，辨析，重組等活動，建構圖式，以“組塊”的形式將學習材料打包成塊，分類存儲在長時記憶中去。當面臨問題時，又可以“解壓”，拿出來用。經過整理后占用記憶容量小，使用便捷。相關認知負荷越豐富越是能夠有效促進學生學習，相關認知負荷越豐富越能夠將認知資源合理的分配到有效的學習活動中去。而數學學困生剛好相反，他們往往在這樣方面比較缺乏，知識結構零散，當需要運用時，需要耗費大量的認知資源去慢慢推理，去認知結構中尋找以往的解題步驟或者過程。

（1）放慢節奏，促進自我解釋，建構圖式

課堂中，放慢教學節奏，尤其是新課內容，或者是相對比較難地知識點，要給充分地時間給學生自我消化，自我解釋，即學習者在學習過程中用自己原有地知識，去理解新的知識，去解釋新的（下轉第5版）（上接第4版）知識，并將新的知識內化到自己原有的認知結構去。大量研究表明，學生在樣例學習時，給時間學生消化每一步的依據，分析每一步的基本原理，明白這樣的理由，促進學習者解決能力的遷移。比如，在學習代入消元法解二元一方程組，筆者給學生提供以下樣例。

1.解方程組 ①

②

解：把①代入②，得

3x+2（2x-0）=50

解得x=10

把x=10代入①，得y=10

∴這個方程組的解是

然后讓學生思考，原方程組有幾個未知數？上述解方程3x+2（2x-10）=50是如何得出來的？然后讓學生關注代入之后的方程3x+2（2x-10）=50中2（2x-10）這部分中括號前為什么有個2，學生自己解決過程中容易漏了這個系數，特別是當這個系數和括號中未知數系數相同時，學生更容易遺忘。這一步驟稱為代入。代入之后再仔細觀察3x+2（2x-10）=50，它只有一個未知數，可利用之前學習的知識解決問題。這原本是一個二元一次方程組，其中有兩個未知數，通過代入消去其中一個未知數，變成一元一次方程，這過程稱為消元。在已經求出其中一個未知數的情況下，如何求解另一未知數。樣例中是把x=10代入①，得y=10? 。把x=10代入②，可以嗎？結果會是多少？讓學生自己完成。回顧整個解題過程，第一步驟是？代入的目的為了？解出一個未知數后，如何求出第二個未知數？最后把方程組的解表示出來。在整個過程中每一步具體是怎么得出來，目的是為什么等，最后，一個整體的思路回顧，讓學生經歷自我解釋。樣例學習提供示范，自我解釋除了一個回顧過程，還是對樣例每個步驟為什么這么做的原因的一個探究，有利于剛建構的圖式更加穩固，有理有據，有利于變成長時記憶。

（2）變式練習，促進圖式建構

變式練習，促使學生對問題進行深度加工，抓住問題的本質，建構問題的認知圖式。所謂變式練習，就是將原有題目的某些條件強化或弱化，或者條件與結論互換的練習。通過變式，重點讓學生把注意力去關注原有題目與變式題目中的區別，表面看是在一定程度上增大認知負荷量，但是變式實際上是對學生的認知結構的進一步完善和擴寬，使得認知結構更加清晰，條理，有利于知識遷移，它增加的負荷屬于相關認知負荷。

（1）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，PA=4㎝，則有PB=_______（2）如圖，已知MP、NQ、PQ是⊙O的三條切線，切點分別為M、N、T，PM=4，NQ=9，則PQ=______（3） △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，且AB=9cm，BC=14 cm，CA=13 cm，求AF、BD、CE的長。

（4）已知在Rt△ABC中，，AC=12，BC=5，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于D、E、F，求⊙O的半徑。

數學教學過程中，教師充分做好任務分析，備好學生和教材，以減少外因型的內在認知負荷;做好章前舊知識回顧，幫助數學學困生鞏固知識結構，減少內因型的內在認知負荷;增加樣例學習，多樣的呈現方式，調動多感官，問題解決前提供支持性信息幫助，減少外在認知負荷;放慢節奏，促進自我解釋，變式練習，建構圖式，增加相關認知負荷，等，幫助學生減少數學認知負荷。教無定法，教學過程只有不斷摸索，教學才會越來越高效。

參考文獻：

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