有關x與e^x,lnx的組合函數的探究與分析

趙隴隴

摘 要：近些年來高考數學的內容發生了變化，變得原來越靈活。有關x與的組合函數問題成為近年高考命題的“常青樹”，?？嫉慕M合函數的形式有四個，分別為xex，，有時還把組合函數中的一次函數換成二次函數等，此類考題一般位于解答題中壓軸題位置，難度一般為中高檔。本文主要就選取近幾年高考壓軸題進行分析和探討。

關鍵詞：高考函數;導數;組合函數

一、引言

函數部分在高考數學中扮演很重要的角色。一：函數的題量是最大的，無論客觀題還是主觀題;第二：函數穿插于其他的考查內容中，例如三角函數、數列部分都有與之相關的函數內容的考查;第三：解答函數題目時所用到的解題方法和策略，例如：數形結合與分類討論的思想都是學好數學必須要掌握的基本思想。函數問題一直是數學高考中的熱點和重點問題，而高考命題遵循考試大綱和教學大綱，體現“基礎知識全面考，主干知識重點考，熱點知識反復考，冷點知識有時考”的原則，因此，函數問題一直是備受關注的課題。

由于函數本身具有較強的抽象性，高考總復習的過程中，指導學生復習函數部分掌握有效的要領和方法還是比較困難的一件事。

二、組合函數是一類特殊的函數，它的引出和定義始終貫穿著高考，隨著對學生能力的不斷要求，考查的頻率是越來越高，難度也有所提高。有關x與的組合函數問題成為近年高考命題的“常青樹”，?？嫉慕M合函數的形式有四個，分別為xex，，lnx，下面就選取近些年高考壓軸題進行分析和探討。

（Ⅱ）【分析1】尋找難點：處理不等式恒成立問題，轉化為函數的最值是基本思路，但此題困難在于導函數太復雜，復雜的原因在于exlnx既有指數式，又有對數式，對函數進行處理顯得非常必要，但無論怎么變形，放在一個函數中其導數都是無法處理的。

【分析2】嘗試突破：正是基于上述難點的分析，嘗試證明“一個函數的最小值大于另一個函數的最大值”這個極強的命題，把exlnx分開，得到兩個常見的函數，嘗試證明一個函數的最小值大于另一個函數的最大值。

記住一些常見函數的最值

都用e來表示，我們很容易進行改編，比如有，變形得：

首先，針對exlnx難于處理，兩邊同時除以指數函數ex，得，對所證式子結構的觀察，與常用不等式的聯系ex>ex，找打了問題的突破口。在變形的過程中隨時對式子結構進行觀察，聯想與之相關的結論，這應該是一種思維習慣。蘇霍姆林斯基說思維培養最好的方式是“一邊思考、一邊觀察，在觀察中思考、在思考中觀察?！贝祟}給出了觀察和思考的對象。觀察不僅限于較復雜的代數式之間，與常數的聯系常常也是重要的突破口。分別在未變形之前和變形之后，對式子進行觀察發現了不同的結構，那在其它變形中是否也蘊含著一些有價值的結構，再來觀察，如果把xlnx中的x變成e-x，得到，驚訝地發現兩個形式大相徑庭的式子只是同一個函數在不同代數式下的函數值。在此題中，相同的結構得到再一次拓展。指對數運算法則及互逆性，使得整式的乘積結構變為分式結構，含指數式可以變為含對數式?？荚囍行慕o出的參考答案之一是：

三、結語

世間萬物看似差別極大的東西，有可能受著同一個簡單法則支配。阿蘭圖靈使用了一個在天文學和原子物理學中很常見的一種數學方程式來描述生命的過程，描述了一個生物系統的自我組織的過程，這解釋了即使簡單的，毫無自然界事物特性的東西也可以演繹出栩栩如生的東西。自然界充滿了生長、發展和混亂，其中到處都是離奇的形狀和雜亂的斑點，自然界的圖案從來都不會固定不變，從來都不會重復，阿蘭圖靈告訴我們這一切看上去混亂的現象都受到數學方程式的影響，事實上，他們完全被數學規則所支配。

參考文獻

[1]高慧明.中學數學研究[J]華南師范大學數學學報.2014

[2]劉祥民.高考函數命題的變化與專題復習的新觀念.數學通訊[J]2003（11）