“好數”問題新解

【摘 要】好數有多種理解。

理解一：好數，意思是兩個整數，它們的積能被和整除，就稱為一對“好數”。

理解二：好數：數ab（a>0，b>0）ab與ba最大公因數不為1，ab即是好數

理解三：好數：對于自然數N，如果找到自然數a和b，使得N=a+b+ab，則N稱為“好數”

在此就不一一例舉了

【關鍵詞】好數;枚舉;篩選;列表解法

引言

朱華偉教授和錢展望教授在他們的專著《數學解題策略》一書第三章枚舉與篩選的第35頁[例3.5]中，討論了所謂“好數”問題：

如果存在1，2，…，n的一個排列a1，a2，…an，使得k+ak（k=1，2，…，n）都是完全平均數，則稱n為“好數”。問在集合{11，13，15，17，19}中，哪些是“好數”，哪些不是“好數”，說明理由！

書中通過對集合中的5個元素逐一枚舉，進行討論，結論是：11不是“好數”，即13，15，17，19都是“好數”！

二位教授在本章問題第16題（見該書第44頁）還把“好數”問題一般化：

如果存在1，2，…，n的一個排列a1，a2，…an，使k+ak（k=1，2，…，n）都是完全平均數，則稱n為“好數”，問在正整數集合中，哪些是“好數”，哪些不是“好數”，并說明理由。

針對作者編著的《數學解題策略》一書，二位教授還編寫了一本習題指導書，即《數學解題策略問題解答》，書中第40頁，第41頁對第16題給出詳細的討論和證明（筆者注：在問題解答一書中，相應問題的編號為15，不是16，經查，原來漏掉第14題的解答，從而把第16題當成第15題）。

筆者看了此題的解答后，覺得對一般化的討論，較為抽象，因此在下文里，給出一種列表解法，同時糾正解答中的一處疏忽。

原解答第一句說“正整數集中只有{1，2，4，6，7，9，11}不是‘好數’”。經筆者演算，其中的正整數9是“好數”，茲列表如下：

k? ? 1? ? 2? ? 3? ?4?  5? ? 6? ? ?7? ?8? ? 9

ak? ? ?8? ? 2? ?6? ? 5? ?4? ? 3? ? ?9? ?1? ? 7

k+ak? ? 32? ?22? ?32? ?32? ?32? ?32? ?42? ?32? ?42

所以，正整數集中只有6個數不是“好數”。

為討論其他的正整數都是“好數”，先用列表法列出3—24之內的相應排列，分兩個表，見附件1。

為了討論一般的情況，不妨考察一下整數段52-62的排列特點，如下：

25=52? ? ? ?1? ?2? ?3 … 23? ?24? ?25

… 25? ?24

72? ? 72

由于23已證明是“好數”，所以由左的排列法25也是“好數”。

26? ? ? ? ? ?1? ?2? ?3? …? 22? ?23? ?25? ?26

…? 26? ?24? ? 23

34? ? ? ? ? ?1? ?2? ?3? …? 14? ?15? ?16? …? 32? ?33? ?34

…? ? ? ? ?34? ?33? … 17? ?16? ?15

現在可以討論整數段n2-（n+1）2的情況，仿列表明示（鑒于前面的討論，現可設n≥6）：

由于假設n≥6，不難斷定，上列表中的大小順序排列是沒有問題的，且其中最小的劃紅波浪線的數2n+4>16，避開了非“好數”的出現！

這就證明了，除六個不是“好數”之外，其他的都是“好數”！

參考文獻

[1]朱華偉，錢展望《數學解題策略》2版、科學出版社，2015.1（走進教育數學/張景中主編）

[2]朱華偉，錢展望《數學解題策略問題解答》2版、科學出版社

作者簡介：高寧（1962-）女，云南省民族中等專業學校，本科，中專高級講師，研究方向為中專數學、教育學、職業生涯規劃