2個中檔導數小題的簡單思考

鄧鑫

下面我們看2個例題。

1.（2019·贛州模擬）若函數f（x）=aex-x-2a有兩個零點，則實數a的取值范圍是________.

很多同學拿到這個題目就直接求導，甚至是二次求導，最終事倍功半。

下面我們來分析題目。首先提個問題，這是個什么函數？先看它的組成，有指數函數和一次函數。指數函數和一次函數都是我們常見的基本函數。這個函數由指數函數和一次函數加減組合而成，我們不妨稱之為“組合函數”。題干給出的條件是這個函數有兩個零點。看到零點首先想到的是什么？函數與x軸的交點或者兩個函數的交點。這樣的話，我們必須畫出f（x）的圖像，用數形結合的辦法。令h（x）=aex，g（x）=x+2a.由函數f（x）=aex-x-2a有兩個零點我們可以知道h（x）與g（x）有兩個交點。參照三角函數，我們知道h（x）=aex是基本函數y=ex的幅度變換，可能單增，也可能單減，由a的符號決定。g（x）=x+2a是個簡單的一次函數，單調遞增，截距為2a.通過分類討論和排除法，我們最終可得如下圖像。

分析題意，我們可知，要有兩個零點，h（x）=aex必須往下凹。所以2a>a即可，即a>0.

綜上，a的取值范圍是（0，+∞）.

點評：這道題目加深了我們對零點相關定理的理解。

2.命題p：?x0∈R，使 為假命題，則實數m的取值范圍是________.

很多同學，拿到題目也是求導，最后不知所云。其實求導只是手段（工具），最終還是要依靠函數的分析方法。

由題意，命題p為假命題。“翻譯”一下，變成：?x∈R， .仿照上面的例題，我們設h（x）= ，g（x）= .由題意h（x）= 和g（x）= 沒有交點。下面我們同樣是畫圖像分析。

由圖可知m的兩個臨界狀態 和 。 顯然是0.那么 怎么求？

我們注意到g（x）= 是正比例函數。那么求 就轉化為求過（0，0）點的h（x）= 的切線方程的斜率問題啦。

設切點為（ ， ），過切點的切線方程可設為 。因為，切線過（0，0）點，所以，可得 ，又因為 ，所以 ， = 。所以切線方程為 ，即 = 。

所以， 的范圍為 .

總結：有些函數問題，有時候因為導數工具的引入，反而變得復雜啦。其實我們在考題中見到的函數大部分是基本函數的四則運算組合而成，本質還是考查函數的思考方法。所以，我認為，數學題目想得越簡單越好。