證明題在數學思維能力培養中的案例

張曉妍

有學生反映，特別是女生說數學證明題對她們來說就像老虎吃天，沒處下爪，拿到題不知道已知有什么用，學到的定理等不知道用哪個，怎么用，怎么思考，結論又如何而來。下面我以八年級數學探索平行線的條件一節中，探索內錯角相等，兩直線平行為例說一下我是怎么培養學生數學思維能力的。

已知：如圖，∠1和∠2是直線a，b 被直線c截出的內錯角，且∠1=∠2.那么a與b的位置關系是什么？為什么？

師：請大家認真讀題，結合圖形，找出已知。

生：∠1和∠2是直線a，b 被直線 c 截出的內錯角，且∠1=∠2.

師：未知什么？

生：a與b的位置關系。

師：同一平面內兩條直線的位置關系有什么？

生：平行或相交。

師：結合圖形和已知，你猜想a與b平行還是相交？

生：平行。

學生張：平行。因為從圖形能直觀看出來應該是平行。

學生陳：平行。因為我們今天探究的是平行的條件，我猜應該是平行。

（同學們不由得笑了，渴望的眼睛望向我）

師：同學們信服嗎？

生：只猜測不行，我們還應該推理證明。

師：對！我們應該用理論驗證一下這兩位同學的猜測，在我們所學過的知識中，有什么理論依據可以說明兩條直線平行？

學生王：平行于同一條直線的兩直線平行。

師：正確。平行于同一條直線的兩直線平行，但此題你看圖，你覺得得這一理論用到這兒合適嗎？

生：不合適。直線a和b與直線c都是相交，不是平行的關系，不能用這一理論。

師：不是所有證明平行的理論都能用，應適當選取判定兩直線平行的方法進行。

師：那兩直線平行的條件還有什么？

生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

師：那只要在圖中找出什么？

生：相等的一對同位角。

師：圖中有同位角嗎？

生：∠2和∠3是直線a，b 被直線 c 截出的同位角。

生：那只要∠2和∠3相等就能得到a平行于b。

師：現在目標明確，證∠2=∠3.它們相等嗎？

生：已知中沒有說相等。

師：怎樣能推出∠2和∠3相等？看已知。

（學生思考）

生：∠1=∠2.

師：圖中還能挖掘出條件嗎？

生：∠1=∠3（對頂角相等）.

師：∠1=∠2. ∠1=∠3.又能得到什么？

生：∠1=∠2. ∠1=∠3，則∠2=∠3 （等量代換）.

師：∠2=∠3 它又是一對同位角，又能推出什么？

生：a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

師：請大家捋順一下思路，從已知出發，推理證明出結論。

師：哪位同學說一下證明過程？注意推理過程的嚴謹。

（一學生說出，其余聽）

證明：∵ ∠1=∠2（已知），

∠1=∠3（對頂角相等）.

∴∠3=∠2 （等量代換）.

∴ a∥b（同位角相等，兩直線平行）.

師：哪位同學能用語言敘述一下這個結論？

（學生敘述）

定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。

簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。

在這個探究過程中，學生已經學習過平行于同一條直線的兩直線平行和同位角相等，兩直線平行這兩個平行的條件，讓學生在已有知識的基礎上解決這一問題，經歷“觀察——猜想——證明”的過程，并學會這一數學思想方法。在探究中，充分發揮老師的主導作用和學生的主體作用，整個過程我設計成問題串的形式，老師問學生答，在老師循序漸進一步一步的設問下，引導學生找出已知、未知，知道題中的條件什么可以利用，探究的方向是什么，再結合圖形猜想出結論，體會猜想的不縝密，對猜想再進行推理驗證。推理中，學生嘗試用平行于同一條直線的兩直線平行這一依據，老師讓學生把這一依據放在題中再判斷合理不合理，啟發學生思考，學生馬上推翻這一依據。排除這一方法，后又另辟蹊徑想用同位角相等，兩直線平行這一依據，通過分析題意和嘗試，培養學生的思維能力，能靈活地選用判定直線平行的方法進行說理。我就追問利用這一依據，關鍵找出什么，學生說一對相等的同位角，目標明確后，引導學生看圖挖掘出一對對頂角相等，再看已知，結合已知根據等量代換得到同位角相等，再利用同位角相等，兩直線平行這個判定兩直線平行條件。整個過程在老師的提問啟發下，學生一步一步推出，驗證探索直線平行的條件的過程，經歷觀察、操作、想象、推理、交流等活動，進一步發展空間觀念、邏輯推理能力和有條理的表達能力，理解并學會執因導果和執果索因的思考方法。在小組合作學習中，鼓勵學生積極參與，交流互動，培養學生的合作意識和團隊精神，并感受學習數學的樂趣，激發學習的積極性。

總之通過這一例題讓學生學會在證明題中怎么審題，怎么看圖挖掘條件，怎么對待已知未知，學會執因導果和執果索因的思維方法，學會怎么邏輯推理，真正提高學生的數學思維能力。