數學相聲——三角函數

秦詩硯

甲：唉，馬上江蘇高考義要改革了，咱家孩子義要苦學了.

乙：誰說不是啊，我們家孩子感覺最難的就是數學，這幾天回家一直給我念叨著“三角韓術”，肯定是韓國那邊弄出來為難孩子的……

甲：等等，什么？一聽就知道你是文盲了吧，這叫三角函數.我為了給孩子補習，可是做了功課的.

乙：是嗎？那我可要考考你，這三角函數是什么地方的？

甲：照你的說法，那就是韓國.

乙：錯錯錯.

甲：說來話長，三角函數最初是古希臘的.古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯，他實際上給出了最早的三角函數數值表.然而古希臘的三角學基本是球面三角學，這與古希臘人研究的主體是天文學有關.梅涅勞斯在描述球面的梅涅勞斯定理時就用到了正弦.托勒密就更了不得了，他不僅給出了計算和角公式和半角公式的方法，還給出了所有O到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值……

乙：停停停，還是錯的，這三角函數不就是數學書上的嗎？你說了這么一大堆，全是照著書讀的，我們說點實在的，別這么玄乎，

甲：好好好，你先說說三角函數有哪些.

乙：正弦sin，余弦cos，正切tan，余切cot，正割sec，余割csc.

甲：這后面三個我怎么沒聽說過？

乙：這就是你研究不深啦，余切，正割，余割，雖然已經從高中課本上消失了，但仍是三角函數的重要組成部分.要不然怎么總說“‘割只是個傳說”呢？

甲：不錯，他們現在學的三角函數多在平面直角坐標系中半徑為1、圓心為原點的單位網內.單位網的定義在實際的計算上其實并沒有多大的用處，但是它允許了三角函數對所有的正角和負角都有定義，也不僅僅是對于在0和π/2弧度之間的角.根據勾股定理，對于網上的任意點（x，y），x2+y2=1.

乙：這么說來，所有角都可以這樣解決：以原點為角θ的頂點，把角的始邊與x軸正半軸重合，則終邊與單位圓交點的橫坐標是cosθ，縱坐標就是sinθ.

甲：對，等你熟練了，就用不著這么繁瑣地畫圖了，把特殊角的三角函數值記牢了就能一通百通.因為對于大于2兀或小于O的角，可直接繼續繞單位網旋轉得到.在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為2兀的周期函數：對于任何角θ和任何整數k，都可以用誘導公式解決.

乙：喲，這專用名詞還懂得不少，別急，我先來考考你. 30°的正弦是多少？

甲：這還不簡單，1/2.

乙：那225°的余弦呢？

甲：這就要誘導公式發揮作用了.cos225°=cos（180°+45°）= -cos45°，答案是-√2/2.

乙：記這么熟，有什么口訣？

甲：噓，小聲點，可不能讓別人聽了去.奇變偶不變，符號看象限.一全正，二正弦，三正切，四余弦.

乙：別這么小氣，這么簡單，大家肯定都會.

甲：那我們就說點高深的，“歐幾里得定理”.

乙：怎么義去了歐洲？

甲：他可是古希臘著名的數學家，人家名字里有個“歐”就是歐洲的？這么說泰姬陵還是泰國的.

乙：好，算我錯了.那這個“歐幾里得定理”義是什么？

甲：說得通俗點，就是射影定理.

乙：影子？

甲：對，在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.

乙：這我知道，初中就學過了.

甲：那就給你上堂新課.在△ABC中，設∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有a=bcosC+ ccosB，b=（cosA +acosC，c=acosB+bcosA.

乙：也不算難啊，

甲：就怕說出來你不會，三角恒等式可難倒了大批學生，像蛇一般扭動的正弦、余弦圖象不叫你看花了眼才怪.我覺得，三角函數的奇妙就在于它可以用于各種領域.

乙：真的？

甲：就說那二倍角公式，在牛頓運動定律的應用上，機械能守恒的應用上，非它不可.可惜啊，我高中沒好好學.

乙：現在也不晚啊，跟孩子一起學，不是挺好？

甲：是啊.

合：學到老，活到老.